Pokyny

Vyhľadávanie však môže byť dosť dlhé, ak povedzme potrebujete skontrolovať číslo ako 136827658235479371. Preto stojí za to venovať pozornosť pravidlám, ktoré môžu výrazne skrátiť čas výpočtu.

Ak je číslo zložené, to znamená, že je súčinom jednoduchých faktorov, potom medzi týmito faktormi musí byť aspoň jeden, ktorý je menší ako druhá odmocnina daného čísla. Koniec koncov, súčin dvoch, z ktorých každé je väčšie ako druhá odmocnina nejakého X, bude určite väčší ako X a tieto dve čísla v žiadnom prípade nemôžu byť jeho deliteľmi.

Preto sa aj pri jednoduchom vyhľadávaní môžete obmedziť na kontrolu iba tých celých čísel, ktoré nepresahujú druhú odmocninu daného čísla, zaokrúhlené nahor. Napríklad pri kontrole čísla 157 skúšate len možné faktory od 2 do 13.

Ak nemáte po ruke počítač a musíte číslo skontrolovať kvôli jednoduchosti manuálne, potom prídu na pomoc príliš jednoduché a zrejmé pravidlá. Najviac vám pomôže vedieť, čo už viete prvočísla. Koniec koncov, nemá zmysel kontrolovať deliteľnosť zloženými číslami samostatne, ak môžete skontrolovať deliteľnosť ich prvočíselnými činiteľmi.

Párne číslo podľa definície nemôže byť prvočíslo, pretože je deliteľné 2. Ak je teda posledná číslica čísla párna, potom je zjavne zložená.

Čísla deliteľné 5 vždy končia 5 alebo nulou. Pohľad na poslednú číslicu čísla im pomôže zbaviť sa ich.

Ak je číslo deliteľné 3, potom súčet jeho číslic je tiež nutne deliteľný 3. Napríklad súčet číslic čísla 136827658235479371 je 1 + 3 + 6 + 8 + 2 + 7 + 6 + 5 + 8 + 2 + 3 + 5 + 4 + 7 + 9 + 3 + 7 + 1 = 87. Toto číslo je bezo zvyšku deliteľné 3: 87 = 29*3. Preto je aj naše číslo deliteľné 3 a je zložené.

Veľmi jednoduchý je aj test deliteľnosti 11. Od súčtu všetkých nepárnych číslic čísla je potrebné odpočítať súčet všetkých jeho párnych cifier. Párnosť a nepárnosť sa určuje počítaním od konca, teda od jednotiek. Ak je výsledný rozdiel deliteľný 11, potom je ním deliteľné aj celé dané číslo. Nech je napríklad dané číslo 2576562845756365782383 Súčet jeho párnych číslic je 8 + 2 + 7 + 6 + 6 + 7 + 4 + 2 + 5 + 7 + 2 = 56. Súčet jeho nepárnych číslic je 3 +. 3 + 8 + 5 + 3 + 5 + 5 + 8 + 6 + 6 + 5 = 57. Rozdiel medzi nimi je 1. Toto číslo nie je deliteľné 11, a preto 11 nie je deliteľom daného čísla.

Podobným spôsobom môžete skontrolovať deliteľnosť čísla 7 a 13. Rozdeľte číslo na trojice číslic, začnite od konca (to sa robí v typografickom zápise pre ľahšie čítanie). Číslo 2576562845756365782383 sa zmení na 2 576 562 845 756 365 782 383. Sčítajte čísla na nepárnych miestach a odčítajte súčet čísel na párnych miestach. V tomto prípade dostanete (383 + 365 + 845 + 576) - (782 + 756 + 562 + 2) = 67. Toto číslo nie je deliteľné ani 7, ani 13, čo znamená, že nie sú deliteľmi daného čísla. .

Vezmite prosím na vedomie

Testy deliteľnosti inými prvočíslami sú oveľa zložitejšie a vo väčšine prípadov je jednoduchšie skúsiť deliť dané číslo zamýšľaným deliteľom ručne.

Zdroje:

• Elementárna matematika - znaky deliteľnosti

Najznámejšie spôsoby, ako nájsť zoznam prvočísel do určitej hodnoty, sú Eratosthenove sito, Sundaramove sito a Atkinovo sito. Na kontrolu, či je dané číslo prvočíslo, existujú testy prvočíselnosti

Budete potrebovať

• Kalkulačka, list papiera a ceruzka (pero)

Pokyny

Metóda 1. Eratosthenove sito.
Podľa tejto metódy, aby ste našli všetky prvočísla, ktoré nie sú väčšie ako určitá hodnota X, musíte zapísať všetky celé čísla od jednej do X za sebou. Zoberme si číslo 2 ako prvé číslo. Vyškrtnime zo zoznamu všetky čísla deliteľné 2. Potom zoberme ďalšie číslo po , neprečiarknuté a vyškrtnime zo zoznamu všetky čísla deliteľné číslom, ktoré sme zobrali. A potom zakaždým vezmeme ďalšie číslo, ktoré nebolo prečiarknuté a vyškrtneme zo zoznamu všetky čísla, ktoré sú deliteľné číslom, ktoré sme vzali. A tak ďalej, kým číslo, ktoré sme si vybrali, nebude väčšie ako X/2. Všetky zostávajúce v zozname nie sú prečiarknuté s jednoduchým

Spôsob 2. Sito Sundaram.
Z radu prirodzených čísel od 1 do N sú vylúčené všetky čísla tvaru
x + y + 2xy,
kde indexy x (nie väčšie ako y) prechádzajú cez všetky prírodné hodnoty, pre ktoré x+y+2xy nie je väčšie ako N, konkrétne hodnoty x=1, 2,...,((2N+1)1/2-1)/2 a x=y, x+ 1,...,(N-x)/(2x+1)yu. Potom sa každé zo zostávajúcich čísel vynásobí 2 a 1. Výsledná postupnosť sú všetky nepárne prvočísla v rade od 1 do 2N+1.

Spôsob 3. Atkinovo sito.
Atkinovo sito je komplexný moderný algoritmus na nájdenie všetkých prvočísel do danej hodnoty X. Hlavnou podstatou algoritmu je reprezentovať prvočísla ako celé čísla s nepárnym počtom zobrazení v daných kvadratických formách. Samostatná fáza algoritmu eliminuje čísla, ktoré sú násobkami druhých mocnín prvočísel v rozsahu od 5 do X.

Testy jednoduchosti.
Testy primality sú algoritmy na určenie, či je konkrétne číslo X prvočíslo.
Jedným z najjednoduchších, ale aj časovo náročných testov je počítanie deliteľov. Pozostáva z prevzatia všetkých celých čísel od 2 do druhej odmocniny X a vypočítania zvyšku, keď sa X vydelí každým z týchto čísel. Ak sa zvyšok po delení čísla X určitým číslom (väčším ako 1 a menším ako X) rovná nule, potom je číslo X zložené. Ak sa ukáže, že číslo X nemožno bezo zvyšku zmenšiť o žiadne z čísel okrem jedného a samého seba, potom je číslo X prvočíslo.
Okrem tejto metódy existuje aj veľké množstvo iných testov na testovanie prvoradosti čísla. Väčšina týchto testov je pravdepodobnostných a používa sa v kryptografii. Jediný test, ktorý zaručuje odpoveď (test AKS), je veľmi náročný na výpočet, čo sťažuje jeho použitie v praxi.

Tu sa pozrieme na definíciu konečnej limity postupnosti. Prípad postupnosti konvergujúcej do nekonečna je diskutovaný na stránke „Definícia nekonečne veľkej postupnosti“.

Definícia

(xn), ak pre akékoľvek kladné číslo ε > 0 existuje prirodzené číslo N ε závislé od ε také, že pre všetky prirodzené čísla n > N ε je nerovnosť
| x n - a|< ε .
Limit sekvencie je označený takto:
.
Alebo na .

Poďme transformovať nerovnosť:
;
;
.

Volá sa otvorený interval (a - ε, a + ε). ε - okolie bodu a.

Postupnosť, ktorá má limit, sa nazýva konvergentná postupnosť. Hovorí sa tiež, že postupnosť konverguje do a. Zavolá sa postupnosť, ktorá nemá limit.

Z definície vyplýva, že ak má postupnosť limitu a, bez ohľadu na to, aké ε-okolie bodu a zvolíme, mimo nej môže byť len konečný počet prvkov postupnosti, alebo vôbec žiadny (prázdna množina) . A každé ε-okolie obsahuje nekonečný počet prvkov. V skutočnosti, keď zadáme určité číslo ε, máme číslo .

Takže všetky prvky postupnosti s číslami sa podľa definície nachádzajú v ε - susedstve bodu a .

Prvé prvky môžu byť umiestnené kdekoľvek. To znamená, že mimo ε-okolia nemôže byť viac ako prvkov – teda konečný počet.
(1) .

Poznamenávame tiež, že rozdiel nemusí monotónne smerovať k nule, teda neustále klesať. Môže inklinovať k nule nemonotónne: môže sa buď zvyšovať alebo znižovať, pričom má lokálne maximá. Avšak tieto maximá, ako sa n zvyšuje, by mali smerovať k nule (možno tiež nie monotónne).

Pomocou logických symbolov existencie a univerzálnosti možno definíciu limitu napísať takto:

Určenie, že a nie je limit Teraz zvážte opačné tvrdenie, že číslo a nie je limita postupnosti.Číslo a nie je limitom postupnosti, ak existuje také, že pre ľubovoľné prirodzené číslo n existuje také prirodzené m
.

> n
(2) .

, Čo? Napíšme tento výrok pomocou logických symbolov. Vyhlásenie, že
číslo a nie je limitom postupnosti.

, to znamená môžete si zvoliť také ε - okolie bodu a, mimo ktorého bude nekonečný počet prvkov postupnosti
(3)
Pozrime sa na príklad 1 . Nech je daná postupnosť so spoločným prvkom (-1, +1) Akékoľvek okolie bodu obsahuje nekonečný počet prvkov. Tento bod však nie je limitom postupnosti, keďže každé okolie bodu obsahuje aj nekonečný počet prvkov. Zoberme si ε - okolie bodu s ε = > 2 .

Teraz to ukážeme, pričom sa budeme striktne držať tvrdenia (2). Bod nie je limita postupnosti (3), pretože existuje taká, že pre každé prirodzené n existuje nepárne, pre ktoré platí nerovnosť
.

Dá sa tiež ukázať, že žiadny bod a nemôže byť limitou tejto postupnosti. Vždy môžeme zvoliť ε - okolie bodu a, ktoré neobsahuje ani bod 0, ani bod 2. A potom mimo zvoleného okolia bude nekonečný počet prvkov postupnosti.

Ekvivalentná definícia

Ekvivalentnú definíciu limity postupnosti môžeme poskytnúť, ak rozšírime pojem ε - okolie. Ekvivalentnú definíciu získame, ak namiesto ε-okolia obsahuje ľubovoľné okolie bodu a.

Určenie okolia bodu
Okolie bodu a volá sa akýkoľvek otvorený interval obsahujúci tento bod. Matematicky je okolie definované takto: , kde ε 1 a ε 2 - ľubovoľné kladné čísla.

Potom bude definícia limitu nasledovná.

Ekvivalentná definícia limitu sekvencie
Číslo a sa nazýva limita postupnosti, ak pre ktorékoľvek jej okolie existuje prirodzené číslo N také, že do tohto okolia patria všetky prvky postupnosti s číslami.

Táto definícia môže byť prezentovaná aj v rozšírenej forme.

Číslo a sa nazýva limita postupnosti, ak pre nejaké kladné čísla a existuje prirodzené číslo N závislé a také, že nerovnosti platia pre všetky prirodzené čísla
.

Dôkaz o rovnocennosti definícií

Dokážme, že dve vyššie uvedené definície limity postupnosti sú ekvivalentné.

Nech číslo a je limita postupnosti podľa prvej definície. To znamená, že existuje funkcia, takže pre každé kladné číslo ε sú splnené tieto nerovnosti:
(4) v .

Ukážme, že číslo a je limita postupnosti podľa druhej definície. To znamená, že musíme ukázať, že existuje taká funkcia, že pre akékoľvek kladné čísla ε 1 a ε 2 sú splnené tieto nerovnosti:
(5) v .

Majme dve kladné čísla: ε 1 a ε 2 .
.
A nech je ε najmenší z nich: .

Potom ; ; 1 a ε 2 .
.

Teraz nech je číslo a limitou postupnosti podľa druhej definície. To znamená, že existuje taká funkcia, že pre akékoľvek kladné čísla ε 1 a ε 2 sú splnené tieto nerovnosti:
(5) v .

Ukážme, že číslo a je limita postupnosti podľa prvej definície. Ak to chcete urobiť, musíte zadať .
.
Potom, keď platia nasledujúce nerovnosti:
To zodpovedá prvej definícii s .

Rovnocennosť definícií bola preukázaná.

Príklady

Tu sa pozrieme na niekoľko príkladov, v ktorých musíme dokázať, že dané číslo a je limita postupnosti. V tomto prípade musíte zadať ľubovoľné kladné číslo ε a definovať funkciu N z ε tak, aby nerovnosť bola splnená pre všetkých.

Príklad 1

(1) .
Dokáž to.
.

.
V našom prípade;
.

.
Využime vlastnosti nerovností. Potom ak a , tak
v .
Potom
.

To znamená, že číslo je limitom danej postupnosti:

Príklad 2
.

Dokážte to pomocou definície limity postupnosti
(1) .
Zapíšme si definíciu limity postupnosti:
.

V našom prípade,;
.
V našom prípade;
.

Zadajte kladné čísla a:
.
Využime vlastnosti nerovností. Potom ak a , tak
v .
.

To znamená, že pre každé kladné číslo môžeme vziať akékoľvek prirodzené číslo väčšie alebo rovné:

.

Príklad 3
Zavádzame označenie , .
.
Poďme transformovať rozdiel: = 1, 2, 3, ... Pre prirodzené n
.

Dokážte to pomocou definície limity postupnosti
(1) .
máme:
.
Zadajte kladné čísla a:
.

Zadajte kladné čísla a:
.
Potom ak a , tak
v .
V rovnakom čase
.

To znamená, že číslo je limitom postupnosti:

Príklad 4
.

Dokážte to pomocou definície limity postupnosti
(1) .
Zapíšme si definíciu limity postupnosti:
.

V našom prípade,;
.
Zadajte kladné čísla a:
.

Zadajte kladné čísla a:
.
Využime vlastnosti nerovností. Potom ak a , tak
v .
V rovnakom čase
.

Dokážte to pomocou definície limity postupnosti
Použitá literatúra:
L.D. Kudrjavcev. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 2003.

CM. Nikolského. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 1983. V tomto článku začneme skúmať racionálne čísla

. Tu uvedieme definície racionálnych čísel, poskytneme potrebné vysvetlenia a uvedieme príklady racionálnych čísel. Potom sa zameriame na to, ako určiť, či je dané číslo racionálne alebo nie.

Navigácia na stránke.

Definícia a príklady racionálnych čísel V tejto časti uvedieme niekoľko definícií racionálnych čísel. Napriek rozdielom vo formuláciách majú všetky tieto definície rovnaký význam: racionálne čísla sa spájajú celé čísla A zlomkové čísla , podobne ako sa kombinujú celé čísla prirodzené čísla

, ich opačné čísla a číslo nula. Inými slovami, racionálne čísla zovšeobecňujú celé a zlomkové čísla. Začnime s definície racionálnych čísel

, ktorý je vnímaný najprirodzenejšie.

• Z uvedenej definície vyplýva, že racionálne číslo je: prirodzené číslo ako zlomok napríklad 3=3/1.
• Akékoľvek celé číslo, najmä číslo nula. V skutočnosti môže byť akékoľvek celé číslo zapísané ako kladný zlomok, záporný zlomok alebo nula. Napríklad 26=26/1, .
• Akýkoľvek spoločný zlomok (kladný alebo záporný). To priamo potvrdzuje daná definícia racionálnych čísel.
• Akékoľvek zmiešané číslo. V skutočnosti môžete vždy reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok. Napríklad a.
• Akékoľvek koncové desatinné miesto alebo nekonečný periodický zlomok. Je to spôsobené tým, že uvedené desatinné miesta prevedené na obyčajné zlomky. Napríklad , a 0, (3) = 1/3.

Je tiež jasné, že akékoľvek nekonečné neperiodické desiatkový NIE JE racionálne číslo, pretože ho nemožno reprezentovať ako zlomok.

Teraz môžeme ľahko dať príklady racionálnych čísel. Čísla 4, 903, 100 321 sú racionálne čísla, pretože sú to prirodzené čísla. Celé čísla 58, -72, 0, -833,333,333 sú tiež príklady racionálnych čísel. Bežné zlomky 4/9, 99/3 sú tiež príklady racionálnych čísel. Racionálne čísla sú tiež čísla.

Z vyššie uvedených príkladov je zrejmé, že existujú kladné aj záporné racionálne čísla a racionálne číslo nula nie je ani kladné, ani záporné.

Vyššie uvedená definícia racionálnych čísel môže byť formulovaná v stručnejšej forme.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako zlomok z/n, kde z je celé číslo a n je prirodzené číslo.

Dokážme, že táto definícia racionálnych čísel je ekvivalentná predchádzajúcej definícii. Vieme, čo možno zvážiť zlomková čiara ako deliaci znak, potom od vlastnosti delenia celých čísel celé čísla pravidlá delenia celých čísel nasledujúce rovnosti a . To je teda dôkaz.

Uveďme príklady racionálnych čísel založených na túto definíciu. Čísla −5, 0, 3 a sú racionálne čísla, pretože ich možno zapísať ako zlomky s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom tvaru, resp.

Definíciu racionálnych čísel možno uviesť v nasledujúcej formulácii.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Táto definícia je tiež ekvivalentná prvej definícii, pretože každý obyčajný zlomok zodpovedá konečnému alebo periodickému desatinnému zlomku a naopak a akékoľvek celé číslo môže byť spojené s desatinným zlomkom s nulami za desatinnou čiarkou.

Napríklad čísla 5, 0, -13 sú príklady racionálnych čísel, pretože ich možno zapísať ako nasledujúce desatinné zlomky 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 a -7, (18).

Dokončime teóriu tohto bodu nasledujúcimi tvrdeniami:

• celé čísla a zlomky (kladné a záporné) tvoria množinu racionálnych čísel;
• každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom a každý takýto zlomok predstavuje určité racionálne číslo;
• každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok a každý takýto zlomok predstavuje racionálne číslo.

Je toto číslo racionálne?

V predchádzajúcom odseku sme zistili, že akékoľvek prirodzené číslo, akékoľvek celé číslo, akýkoľvek obyčajný zlomok, akékoľvek zmiešané číslo, akýkoľvek konečný desatinný zlomok, ako aj akýkoľvek periodický desatinný zlomok je racionálne číslo. Táto znalosť nám umožňuje „rozpoznať“ racionálne čísla zo súboru zapísaných čísel.

Ale čo ak je číslo uvedené v tvare nejaké , alebo ako , atď., Ako odpovedať na otázku, či je toto číslo racionálne? V mnohých prípadoch je veľmi ťažké odpovedať. Naznačme niektoré smery myslenia.

Ak je číslo uvedené ako číselný výraz, ktorý obsahuje iba racionálne čísla a znamienka aritmetické operácie(+, −, · a:), potom hodnota tohto výrazu je racionálne číslo. Vyplýva to z toho, ako sú definované operácie s racionálnymi číslami. Napríklad po vykonaní všetkých operácií vo výraze dostaneme racionálne číslo 18.

Niekedy po zjednodušení výrazov a ich skomplikovaní je možné určiť, či je dané číslo racionálne.

Poďme ďalej. Číslo 2 je racionálne číslo, pretože každé prirodzené číslo je racionálne. A čo číslo? Je to racionálne? Ukazuje sa, že nie - nie je racionálne číslo, je iracionálne číslo(dôkaz tejto skutočnosti protirečením je uvedený v učebnici algebry pre 8. ročník, uvedenej nižšie v zozname literatúry). Bolo tiež dokázané, že druhá odmocnina z prirodzené číslo je racionálne číslo len v tých prípadoch, keď koreň obsahuje číslo, ktoré je druhou mocninou nejakého prirodzeného čísla. Napríklad a sú racionálne čísla, pretože 81 = 9 2 a 1 024 = 32 2 a čísla a nie sú racionálne, pretože čísla 7 a 199 nie sú dokonalé štvorce prirodzených čísel.

Je číslo racionálne alebo nie? V tomto prípade je ľahké si všimnúť, že toto číslo je preto racionálne. Je číslo racionálne? Je dokázané, že k-tá odmocnina z celého čísla je racionálne číslo iba vtedy, ak číslo pod znamienkom odmocniny je k-tou mocninou nejakého celého čísla. Preto to nie je racionálne číslo, pretože neexistuje celé číslo, ktorého piata mocnina je 121.

Metóda protirečenia vám umožňuje dokázať, že logaritmy niektorých čísel nie sú z nejakého dôvodu racionálne čísla. Ukážme napríklad, že - nie je racionálne číslo.

Predpokladajme opak, teda povedzme, že ide o racionálne číslo a možno ho zapísať ako obyčajný zlomok m/n. Potom dáme nasledujúce rovnosti: . Posledná rovnosť je nemožná, pretože na ľavej strane je nepárne číslo 5 n a na pravej strane je párne číslo 2 m. Preto je náš predpoklad nesprávny, teda nie racionálne číslo.

Na záver je potrebné poznamenať, že pri určovaní racionality alebo iracionality čísel by sme sa mali zdržať náhlych záverov.

Napríklad by ste nemali okamžite tvrdiť, že súčin iracionálnych čísel π a e je iracionálne číslo, je to „zdanlivo zrejmé“, ale nie je to dokázané. To vyvoláva otázku: "Prečo by bol produkt racionálnym číslom?" A prečo nie, veď môžete uviesť príklad iracionálnych čísel, ktorých súčin dáva racionálne číslo: .

Nie je tiež známe, či čísla a mnohé ďalšie čísla sú racionálne alebo nie. Napríklad existujú iracionálne čísla, ktorých iracionálna sila je racionálne číslo. Pre ilustráciu uvádzame stupeň tvaru , základ tohto stupňa a exponent nie sú racionálne čísla, ale , a 3 je racionálne číslo.

Referencie.

• Matematika. 6. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [N. Ya. Vilenkin a ďalší]. - 22. vydanie, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Výklad snov