Bago natin simulan ang paglutas ng mga problema, kailangan nating maunawaan ang ilang simpleng mga punto.

Isaalang-alang ang decimal na numero 875. Ang huling digit ng numero (5) ay ang natitira sa paghahati ng numerong 875 sa 10. Ang huling dalawang numero ay bumubuo sa numerong 75 - ito ang natitira sa paghahati ng numerong 875 sa 100. Ang mga katulad na pahayag ay totoo para sa anumang sistema ng numero:

Ang huling digit ng isang numero ay ang natitira kapag hinahati ang numerong ito sa base ng sistema ng numero.

Ang huling dalawang digit ng isang numero ay ang natitira kapag ang numero ay hinati sa squared base.

Halimbawa, . Hatiin ang 23 ng system base 3, makakakuha tayo ng 7 at 2 bilang natitira (2 ang huling digit ng isang numero sa ternary system). Hatiin ang 23 sa 9 (base squared), makuha natin ang 18 at 5 bilang natitira (5 = ).

Bumalik tayo muli sa karaniwang sistema ng decimal. Numero = 100000. Ibig sabihin 10 sa k power ay isa at k zero.

Ang isang katulad na pahayag ay totoo para sa anumang sistema ng numero:

Ang batayan ng sistema ng numero sa kapangyarihan k sa sistema ng numero na ito ay nakasulat bilang isa at k zero.

Halimbawa, .

1. Paghahanap ng base ng sistema ng numero

Halimbawa 1.

Sa isang sistema ng numero na may ilang base, ang decimal na numero 27 ay isinusulat bilang 30. Tukuyin ang base na ito.

Solusyon:

Tukuyin natin ang nais na base x. Tapos .I.e. x = 9.

Halimbawa 2.

Sa isang sistema ng numero na may ilang base, ang decimal na numero 13 ay isinusulat bilang 111. Tukuyin ang base na ito.

Solusyon:

Tukuyin natin ang gustong base x. Pagkatapos

Nalulutas namin ang quadratic equation, nakakakuha kami ng mga ugat 3 at -4. Dahil ang base ng sistema ng numero ay hindi maaaring negatibo, ang sagot ay 3.

Sagot: 3

Halimbawa 3

Pinaghihiwalay ng mga kuwit, sa pataas na pagkakasunud-sunod, ipahiwatig ang lahat ng mga base ng mga sistema ng numero kung saan ang numero 29 ay nagtatapos sa 5.

Solusyon:

Kung sa ilang sistema ang numero 29 ay nagtatapos sa 5, ang bilang na binawasan ng 5 (29-5 = 24) ay nagtatapos sa 0. Nauna naming sinabi na ang isang numero ay nagtatapos sa 0 sa kaso kapag ito ay nahahati sa base ng system walang natitira. Yung. kailangan nating hanapin ang lahat ng naturang numero na mga divisors ng numero 24. Ang mga numerong ito ay: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Tandaan na sa mga sistema ng numero na may base 2, 3, 4 ay walang numero 5 (at sa problema sa pagbabalangkas, ang numero 29 ay nagtatapos sa 5), ​​na nangangahulugang ang mga system na may mga base ay nananatili: 6, 8, 12,

Sagot: 6, 8, 12, 24

Halimbawa 4

Pinaghihiwalay ng mga kuwit, sa pataas na pagkakasunud-sunod, ipahiwatig ang lahat ng mga base ng mga sistema ng numero kung saan ang bilang na 71 ay nagtatapos sa 13.

Solusyon:

Kung sa ilang sistema ang isang numero ay nagtatapos sa 13, kung gayon ang base ng sistemang ito ay hindi bababa sa 4 (kung hindi man ay walang numero 3 doon).

Ang isang numerong binawasan ng 3 (71-3=68) ay nagtatapos sa 10. Ibig sabihin. Ang 68 ay ganap na hinati ng ninanais na base ng system, at ang quotient nito kapag hinati sa base ng system ay nagbibigay ng natitirang 0.

Isulat natin ang lahat ng integer divisors ng numerong 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 ay hindi angkop, dahil ang base ay hindi bababa sa 4. Suriin natin ang natitirang mga divisors:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (pahinga 1) – angkop

68:17 = 4; 4:17 = 0 (pahinga 4) – hindi angkop

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ost 2) – hindi angkop

68:68 = 1; 1:68 = 0 (pahinga 1) – angkop

Sagot: 4.68

2. Maghanap ng mga numero ayon sa mga kundisyon

Halimbawa 5

Tukuyin, na pinaghihiwalay ng mga kuwit sa pataas na pagkakasunud-sunod, ang lahat ng mga decimal na numero na hindi hihigit sa 25, ang notasyon kung saan sa base apat na sistema ng numero ay nagtatapos sa 11?

Solusyon:

Una, alamin natin kung ano ang hitsura ng numero 25 sa base 4 na sistema ng numero.

Yung. kailangan nating hanapin ang lahat ng numero, hindi hihigit sa , na nagtatapos sa 11. Ayon sa tuntunin ng sequential counting sa base 4 system,
nakukuha namin ang mga numero at . Kino-convert namin ang mga ito sa sistema ng decimal na numero:

Sagot: 5, 21

3. Paglutas ng mga equation

Halimbawa 6

Lutasin ang equation:

Isulat ang iyong sagot sa ternary system (hindi na kailangang isulat ang base ng number system sa iyong sagot).

Solusyon:

I-convert natin ang lahat ng mga numero sa sistema ng decimal na numero:

Ang quadratic equation ay may mga ugat -8 at 6 (dahil ang base ng system ay hindi maaaring negatibo). .

Sagot: 20

4. Pagbibilang ng bilang ng mga isa (zero) sa binary notation ng halaga ng isang expression

Upang malutas ang ganitong uri ng problema, kailangan nating tandaan kung paano gumagana ang columnar addition at subtraction:

Kapag nagdadagdag, nangyayari ang isang bitwise na pagsusuma ng mga digit na nakasulat sa ilalim ng bawat isa, na nagsisimula sa pinakamaliit na makabuluhang mga digit. Kung ang resultang kabuuan ng dalawang digit ay mas malaki kaysa o katumbas ng base ng sistema ng numero, ang natitira sa paghahati ng kabuuan na ito sa base ng sistema ng numero ay isusulat sa ilalim ng mga summed digit, at ang integer na bahagi ng paghahati sa kabuuan na ito ng base ng system ay idinagdag sa kabuuan ng mga sumusunod na digit.

Kapag binabawasan, ang mga digit na nakasulat sa ibaba ng isa't isa ay bitwise na binabawasan, na nagsisimula sa hindi bababa sa makabuluhang mga digit. Kung ang unang digit ay mas mababa sa pangalawa, "hiram" namin ang isa mula sa katabing (mas malaking) digit. Ang yunit na inookupahan sa kasalukuyang digit ay katumbas ng base ng sistema ng numero. Sa decimal ito ay 10, sa binary ito ay 2, sa ternary ito ay 3, atbp.

Halimbawa 7

Ilang unit ang nakapaloob sa binary notation ng expression value: ?

Solusyon:

Isipin natin ang lahat ng mga numero sa expression bilang mga kapangyarihan ng dalawa:

Sa binary notation, ang 2 sa kapangyarihan ng n ay mukhang 1 na sinusundan ng n zero. Pagkatapos ay pagbubuod at , nakakakuha tayo ng numerong naglalaman ng 2 unit:

Ngayon ibawas natin ang 10,000 mula sa resultang numero Ayon sa mga tuntunin ng pagbabawas, humiram tayo mula sa susunod na digit.

Ngayon magdagdag ng 1 sa resultang numero:

Nakikita namin na ang resulta ay may 2013+1+1=2015 units.

Conversion sa decimal number system

Ehersisyo 1. Anong numero ang katumbas ng 24 16 sa decimal system?

Solusyon.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Sagot. 24 16 = 36 10

Gawain 2. Alam na ang X = 12 4 + 4 5 + 101 2. Ano ang halaga ng X sa sistema ng decimal na numero?

Solusyon.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Hanapin ang numero: X = 6 + 4 + 5 = 15

Sagot. X = 15 10

Gawain 3. Kalkulahin ang halaga ng kabuuan 10 2 + 45 8 + 10 16 sa decimal notation.

Solusyon.

I-convert natin ang bawat termino sa sistema ng decimal na numero:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Ang kabuuan ay: 2 + 37 + 16 = 55

Conversion sa binary number system

Ehersisyo 1. Ano ang numero 37 sa binary?

Solusyon.

Maaari kang mag-convert sa pamamagitan ng paghahati sa 2 at pagsasama-sama ng mga natitira sa reverse order.

Ang isa pang paraan ay ang pag-decompose ng numero sa kabuuan ng mga kapangyarihan ng dalawa, simula sa pinakamataas, ang kinakalkula na resulta ay mas mababa sa ibinigay na numero. Kapag nagko-convert, ang mga nawawalang kapangyarihan ng isang numero ay dapat mapalitan ng mga zero:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Sagot. 37 10 = 100101 2 .

Gawain 2. Ilang makabuluhang zero ang mayroon sa binary notation ng decimal na numero 73?

Solusyon.

I-decompose natin ang numerong 73 sa kabuuan ng dalawang kapangyarihan, simula sa pinakamataas at kasunod na pagpaparami ng mga nawawalang kapangyarihan sa mga zero, at ang mga umiiral nang isa:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Sagot. Ang binary na representasyon ng decimal na numero 73 ay may apat na makabuluhang zero.

Gawain 3. Kalkulahin ang kabuuan ng mga numerong x at y para sa x = D2 16, y = 37 8. Ipakita ang resulta sa binary number system.

Solusyon.

Alalahanin na ang bawat digit ng isang hexadecimal na numero ay binubuo ng apat na binary digit, ang bawat digit ng isang octal na numero ay tatlo:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Pagsamahin natin ang mga resultang numero:

11010010 11111 -------- 11110001

Sagot. Ang kabuuan ng mga numero D2 16 at y = 37 8, na kinakatawan sa binary number system, ay 11110001.

Gawain 4. Ibinigay: a= D7 16, b= 331 8 . Aling numero c, na nakasulat sa binary number system, ay nakakatugon sa kundisyon a< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Solusyon.

I-convert natin ang mga numero sa binary number system:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Ang unang apat na digit ng lahat ng mga numero ay pareho (1101). Samakatuwid, ang paghahambing ay pinasimple sa paghahambing ng mas mababang apat na digit.

Ang unang numero mula sa listahan ay katumbas ng numero b, samakatuwid, ay hindi angkop.

Ang pangalawang numero ay mas malaki kaysa sa b. Ang ikatlong numero ay a.

Ang pang-apat na numero lamang ang angkop: 0111< 1000 < 1001.

Sagot. Ang ikaapat na opsyon (11011000) ay nakakatugon sa kundisyon a< c < b .

Mga gawain upang matukoy ang mga halaga sa iba't ibang mga sistema ng numero at ang kanilang mga base

Ehersisyo 1. Upang i-encode ang mga character na @, $, &, %, ginagamit ang dalawang-digit na sequential binary na mga numero. Ang unang character ay tumutugma sa numerong 00. Gamit ang mga character na ito, ang sumusunod na sequence ay na-encode: $%&&@$. I-decode ang sequence na ito at i-convert ang resulta sa hexadecimal number system.

Solusyon.

1. Ihambing natin ang mga binary na numero sa mga character na kanilang na-encode:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. I-convert ang binary number sa hexadecimal number system:
0111 1010 0001 = 7A1

Sagot. 7A1 16.

Gawain 2. Mayroong 100 x na puno ng prutas sa hardin, kung saan 33 x ay puno ng mansanas, 22 x ay peras, 16 x ay plum, 17 x ay seresa. Ano ang batayan ng sistema ng numero (x).

Solusyon.

1. Tandaan na ang lahat ng termino ay dalawang-digit na numero. Sa anumang sistema ng numero maaari silang katawanin tulad ng sumusunod:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, kung saan ang a at b ay ang mga digit ng mga katumbas na digit ng numero.
Para sa tatlong-digit na numero ito ay magiging ganito:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Ang kondisyon ng problema ay:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
I-substitute natin ang mga numero sa mga formula:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Lutasin ang quadratic equation:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Ang square root ng D ay 11.
Mga ugat ng isang quadratic equation:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 o x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Isang negatibong numero hindi maaaring maging batayan ng isang sistema ng numero. Samakatuwid ang x ay maaari lamang maging katumbas ng 9.

Sagot. Ang kinakailangang base ng sistema ng numero ay 9.

Gawain 3. Sa isang sistema ng numero na may ilang base, ang decimal na numero 12 ay isinusulat bilang 110. Hanapin ang base na ito.

Solusyon.

Una, isusulat natin ang numero 110 sa pamamagitan ng formula para sa pagsusulat ng mga numero sa mga positional number system upang mahanap ang halaga sa decimal number system, at pagkatapos ay hahanapin natin ang base sa pamamagitan ng brute force.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Kailangan nating makakuha ng 12. Subukan natin ang 2: 2 2 + 2 = 6. Subukan ang 3: 3 2 + 3 = 12.

Nangangahulugan ito na ang base ng sistema ng numero ay 3.

Sagot. Ang kinakailangang base ng sistema ng numero ay 3.

Gawain 4. Sa anong sistema ng numero irepresenta ang decimal na numero 173 bilang 445?

Solusyon.
Tukuyin natin ang hindi kilalang base bilang X. Isinulat natin ang sumusunod na equation:
173 10 = 4*X 2 + 4*X 1 + 5*X 0
Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang anumang positibong numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng 1, muling isusulat namin ang equation (hindi namin ipahiwatig ang base 10).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Siyempre, ang naturang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang isang discriminant, ngunit mayroong isang mas simpleng solusyon. Ibawas ang 4 mula sa kanan at kaliwang bahagi
169 = 4*X 2 + 4*X + 1 o 13 2 = (2*X+1) 2
Mula dito makakakuha tayo ng 2*X +1 = 13 (itinatapon natin ang negatibong ugat). O X = 6.
Sagot: 173 10 = 445 6

Mga problema sa paghahanap ng ilang base ng mga sistema ng numero

Mayroong isang pangkat ng mga problema kung saan kailangan mong ilista (sa pataas o pababang pagkakasunud-sunod) ang lahat ng mga base ng mga sistema ng numero kung saan ang representasyon ng isang naibigay na numero ay nagtatapos sa isang naibigay na digit. Ang problemang ito ay nalutas nang simple. Una kailangan mong ibawas ang ibinigay na digit mula sa orihinal na numero. Ang resultang numero ang magiging unang base ng sistema ng numero. At lahat ng iba pang base ay maaari lamang maging mga divisors ng numerong ito. (Ang pahayag na ito ay napatunayan batay sa panuntunan para sa pag-convert ng mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa - tingnan ang talata 4). Basta tandaan mo yan ang base ng sistema ng numero ay hindi maaaring mas mababa sa isang naibigay na digit!

Halimbawa
Pinaghihiwalay ng mga kuwit, sa pataas na pagkakasunud-sunod, ipahiwatig ang lahat ng mga base ng mga sistema ng numero kung saan ang numero 24 ay nagtatapos sa 3.

Solusyon
24 – 3 =21 ang unang base (13 21 = 13*21 1 +3*21 0 = 24).
Ang 21 ay nahahati sa 3 at 7. Ang bilang 3 ay hindi angkop, dahil Walang digit 3 sa base 3 number system.
Sagot: 7, 21

Pangunahing konsepto ng mga sistema ng numero

Ang sistema ng numero ay isang hanay ng mga panuntunan at pamamaraan para sa pagsulat ng mga numero gamit ang isang hanay ng mga digital na character. Ang bilang ng mga digit na kinakailangan upang magsulat ng isang numero sa isang sistema ay tinatawag na base ng sistema ng numero. Ang base ng system ay nakasulat sa kanang bahagi ng numero sa subscript: ; ; atbp.

Mayroong dalawang uri ng mga sistema ng numero:

positional, kapag ang halaga ng bawat digit ng isang numero ay tinutukoy ng posisyon nito sa talaan ng numero;

non-positional, kapag ang halaga ng isang digit sa isang numero ay hindi nakadepende sa lugar nito sa notation ng numero.

Ang isang halimbawa ng isang non-positional number system ay ang Romano: mga numero IX, IV, XV, atbp. Ang isang halimbawa ng isang positional number system ay ang decimal system na ginagamit araw-araw.

Anumang integer sa positional system ay maaaring isulat sa polynomial form:

kung saan ang S ay ang base ng sistema ng numero;

Mga digit ng isang numero na nakasulat sa isang ibinigay na sistema ng numero;

n ay ang bilang ng mga digit ng numero.

Halimbawa. Numero ay isusulat sa polynomial form tulad ng sumusunod:

Mga uri ng sistema ng numero

Ang sistema ng numerong Romano ay isang non-positional system. Gumagamit ito ng mga titik ng alpabetong Latin sa pagsulat ng mga numero. Sa kasong ito, ang letrang I ay palaging ibig sabihin ay isa, ang letrang V ay nangangahulugang lima, X ay nangangahulugang sampu, L ay limampu, C ay isang daan, D ay nangangahulugang limang daan, M ay nangangahulugang isang libo, atbp. Halimbawa, ang bilang na 264 ay isinulat bilang CCLXIV. Kapag nagsusulat ng mga numero sa sistema ng Romanong numero, ang halaga ng isang numero ay ang algebraic na kabuuan ng mga digit na kasama dito. Sa kasong ito, ang mga digit sa talaan ng numero ay, bilang isang panuntunan, sa pababang pagkakasunud-sunod ng kanilang mga halaga, at hindi pinapayagan na magsulat ng higit sa tatlong magkaparehong mga digit nang magkatabi. Sa kaso kapag nasa likod ng numero na may malaking halaga na sinusundan ng isang figure na may mas maliit, ang kontribusyon nito sa halaga ng bilang sa kabuuan ay negatibo. Ang mga karaniwang halimbawa na naglalarawan ng mga pangkalahatang tuntunin para sa pagsusulat ng mga numero sa sistema ng Roman numeral ay ibinibigay sa talahanayan.

Talahanayan 2. Pagsulat ng mga numero sa sistemang Roman numeral

		III
	VII	VIII
	XIII	XVIII	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Ang kawalan ng sistemang Romano ay ang kakulangan ng mga pormal na tuntunin para sa pagtatala ng mga numero at, nang naaayon, mga operasyon sa aritmetika na may mga multi-digit na numero. Dahil sa abala nito at napakakumplikado, kasalukuyang ginagamit ang Roman number system kung saan ito ay talagang maginhawa: sa panitikan (chapter numbering), sa disenyo ng mga dokumento (serye ng pasaporte, securities, atbp.), para sa mga layuning pampalamuti sa isang watch dial. at sa maraming iba pang mga kaso.

Ang sistema ng decimal na numero ay kasalukuyang pinakakilala at ginagamit. Ang pag-imbento ng sistema ng decimal na numero ay isa sa mga pangunahing tagumpay ng pag-iisip ng tao. Kung wala ito, ang makabagong teknolohiya ay halos hindi maaaring umiral, lalo na ang lumabas. Ang dahilan kung bakit naging pangkalahatang tinatanggap ang sistema ng decimal na numero ay hindi sa matematika. Sanay na ang mga tao sa pagbilang sa sistema ng decimal na numero dahil mayroon silang 10 daliri sa kanilang mga kamay.

Ang sinaunang larawan ng mga decimal na digit (Larawan 1) ay hindi sinasadya: ang bawat digit ay kumakatawan sa isang numero ayon sa bilang ng mga anggulo sa loob nito. Halimbawa, 0 - walang sulok, 1 - isang sulok, 2 - dalawang sulok, atbp. Ang pagsulat ng mga decimal na numero ay dumaan sa mga makabuluhang pagbabago. Ang form na ginagamit namin ay itinatag noong ika-16 na siglo.

Ang sistemang desimal ay unang lumitaw sa India noong ika-6 na siglo bagong panahon. Gumamit ang Indian numbering ng siyam na numeric na character at isang zero upang ipahiwatig ang isang walang laman na posisyon. Sa mga unang manuskrito ng India na dumating sa amin, ang mga numero ay isinulat sa reverse order - ang pinakamahalagang numero ay inilagay sa kanan. Ngunit sa lalong madaling panahon naging panuntunan na ilagay ang naturang numero sa kaliwang bahagi. Espesyal na kahulugan ay binigyan ng zero na simbolo, na ipinakilala para sa positional notation system. Ang Indian numbering, kabilang ang zero, ay nakaligtas hanggang ngayon. Sa Europa, ang mga pamamaraan ng Hindu ng decimal na aritmetika ay naging laganap sa simula ng ika-13 siglo. salamat sa gawa ng Italian mathematician na si Leonardo ng Pisa (Fibonacci). nanghiram ang mga Europeo Sistema ng India notasyon sa mga Arabo, na tinatawag itong Arabic. Ang makasaysayang maling pangalan na ito ay nagpapatuloy hanggang ngayon.

Gumagamit ang decimal system ng sampung digit—0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, at 9—pati na rin ang mga simbolo na “+” at “–” upang ipahiwatig ang tanda ng isang numero, at isang kuwit o tuldok upang paghiwalayin ang mga bahaging integer at decimal.

Gumagamit ang mga computer ng binary number system, ang base nito ay ang numero 2. Upang magsulat ng mga numero sa system na ito, dalawang digit lamang ang ginagamit - 0 at 1. Taliwas sa popular na maling kuru-kuro, ang binary number system ay hindi naimbento ng mga computer design engineer, ngunit sa pamamagitan ng mga matematiko at pilosopo bago pa man ang paglitaw ng mga kompyuter, noong ika-17 - ika-19 na siglo. Ang unang nai-publish na talakayan ng binary number system ay ang Espanyol na pari na si Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Ang pangkalahatang atensiyon sa sistemang ito ay naakit ng isang artikulo ng German mathematician na si Gottfried Wilhelm Leibniz, na inilathala noong 1703. Ipinaliwanag nito ang binary operations ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati. Hindi inirerekomenda ni Leibniz ang paggamit ng sistemang ito para sa mga praktikal na kalkulasyon, ngunit binigyang-diin ang kahalagahan nito para sa teoretikal na pananaliksik. Sa paglipas ng panahon, ang binary number system ay nagiging kilala at bubuo.

Ang pagpili ng isang binary system para sa paggamit sa teknolohiya ng computer ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng ang katunayan na ang mga elektronikong elemento - mga nag-trigger na bumubuo sa mga computer chips - ay maaari lamang sa dalawang operating states.

Gamit ang binary coding system, maaari kang magtala ng anumang data at kaalaman. Madaling maunawaan ito kung naaalala natin ang prinsipyo ng pag-encode at pagpapadala ng impormasyon gamit ang Morse code. Ang isang telegraph operator, gamit lamang ang dalawang simbolo ng alpabetong ito - mga tuldok at gitling, ay maaaring magpadala ng halos anumang teksto.

Ang binary system ay maginhawa para sa isang computer, ngunit hindi maginhawa para sa isang tao: ang mga numero ay mahaba at mahirap isulat at tandaan. Siyempre, maaari mong i-convert ang numero sa decimal system at isulat ito sa form na ito, at pagkatapos, kapag kailangan mong i-convert ito pabalik, ngunit lahat ng mga pagsasaling ito ay labor-intensive. Samakatuwid, ang mga sistema ng numero na nauugnay sa binary ay ginagamit - octal at hexadecimal. Upang magsulat ng mga numero sa mga sistemang ito, kinakailangan ang 8 at 16 na numero, ayon sa pagkakabanggit. Sa hexadecimal, ang unang 10 digit ay karaniwan, at pagkatapos ay ginagamit ang malalaking letrang Latin. Hexadecimal digit A ay tumutugma sa decimal na numero 10, hexadecimal B sa decimal na numero 11, atbp. Ang paggamit ng mga system na ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang paglipat sa pagsulat ng isang numero sa alinman sa mga system na ito mula sa binary notation nito ay napakasimple. Nasa ibaba ang isang talahanayan ng pagsusulatan sa pagitan ng mga numerong nakasulat sa iba't ibang sistema.

Talahanayan 3. Korespondensiya ng mga numerong nakasulat sa iba't ibang sistema ng numero

Decimal	Binary	Octal	Hexadecimal
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Mga panuntunan para sa pag-convert ng mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa

Ang pag-convert ng mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa ay mahalagang bahagi aritmetika ng makina. Isaalang-alang natin ang mga pangunahing tuntunin ng pagsasalin.

1. Upang i-convert ang isang binary na numero sa isang decimal, kinakailangan na isulat ito sa anyo ng isang polynomial na binubuo ng mga produkto ng mga digit ng numero at ang kaukulang kapangyarihan ng 2, at kalkulahin ito ayon sa mga patakaran ng decimal aritmetika:

Kapag nagsasalin, maginhawang gamitin ang talahanayan ng mga kapangyarihan ng dalawa:

Talahanayan 4. Mga kapangyarihan ng numero 2

n (degree)
											1024

Halimbawa. I-convert ang numero sa sistema ng decimal na numero.

2. Upang i-convert ang isang octal na numero sa isang decimal, ito ay kinakailangan upang isulat ito bilang isang polynomial na binubuo ng mga produkto ng mga digit ng numero at ang kaukulang kapangyarihan ng numero 8, at kalkulahin ito ayon sa mga patakaran ng decimal aritmetika:

Kapag nagsasalin, maginhawang gamitin ang talahanayan ng mga kapangyarihan ng walo:

Talahanayan 5. Mga kapangyarihan ng bilang 8

n (degree)

Notasyon ay isang paraan ng pagsulat ng isang numero gamit ang isang tinukoy na hanay ng mga espesyal na character (digit).

Notasyon:

• nagbibigay ng representasyon ng isang set ng mga numero (integers at/o reals);

• nagbibigay sa bawat numero ng isang natatanging representasyon (o hindi bababa sa isang karaniwang representasyon);

• ipinapakita ang algebraic at arithmetic na istraktura ng isang numero.

Ang pagsulat ng isang numero sa ilang sistema ng numero ay tinatawag code ng numero.

Ang isang hiwalay na posisyon sa isang display ng numero ay tinatawag discharge, na nangangahulugang ang numero ng posisyon ay numero ng ranggo.

Ang bilang ng mga digit sa isang numero ay tinatawag kaunting lalim at sumasabay sa haba nito.

Ang mga sistema ng numero ay nahahati sa posisyonal At hindi nakaposisyon. Ang mga sistema ng numero ng posisyon ay nahahati

sa homogenous At magkakahalo.

octal number system, hexadecimal number system at iba pang sistema ng numero.

Pagsasalin ng mga sistema ng numero. Maaaring ma-convert ang mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa.

Talaan ng mga sulat ng mga numero sa iba't ibang sistema ng numero.

Pinapayagan ka ng calculator na i-convert ang buo at fractional na mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa. Ang base ng sistema ng numero ay hindi maaaring mas mababa sa 2 at higit sa 36 (10 digit at 26 Latin na letra kung tutuusin). Ang haba ng mga numero ay hindi dapat lumampas sa 30 character. Upang magpasok ng mga fractional na numero, gamitin ang simbolo. o, . Upang i-convert ang isang numero mula sa isang system patungo sa isa pa, ilagay ang orihinal na numero sa unang field, ang base ng orihinal na sistema ng numero sa pangalawa, at ang base ng system ng numero kung saan mo gustong i-convert ang numero sa ikatlong field, pagkatapos ay i-click ang "Kumuha ng Record" na buton.

Orihinal na numero nakasulat sa 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3 -ika na sistema ng numero.

Gusto kong makakuha ng isang numero na nakasulat sa 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ika na sistema ng numero.

Kumuha ng entry

Nakumpleto ang mga pagsasalin: 3722471

Maaari ka ring maging interesado:

• Truth table calculator. SDNF. SKNF. Zhegalkin polynomial

Mga sistema ng numero

Ang mga sistema ng numero ay nahahati sa dalawang uri: posisyonal At hindi positional. Ginagamit namin ang Arabic system, ito ay positional, ngunit mayroon ding Roman system - hindi ito positional. Sa mga positional system, ang posisyon ng isang digit sa isang numero ay natatanging tumutukoy sa halaga ng numerong iyon. Ito ay madaling maunawaan sa pamamagitan ng pagtingin sa ilang numero bilang isang halimbawa.

Halimbawa 1. Kunin natin ang numerong 5921 sa sistema ng decimal na numero. Bilangin natin ang numero mula kanan pakaliwa simula sa zero:

Ang numerong 5921 ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Ang numero 10 ay isang katangian na tumutukoy sa sistema ng numero. Ang mga halaga ng posisyon ng isang naibigay na numero ay kinuha bilang mga kapangyarihan.

Halimbawa 2. Isaalang-alang ang totoong decimal na numero 1234.567. Bilangin natin ito simula sa zero na posisyon ng numero mula sa decimal point sa kaliwa at kanan:

Ang numerong 1234.567 ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Pag-convert ng mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa

Karamihan sa simpleng paraan ang pag-convert ng isang numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa ay ang unang pag-convert ng numero sa isang sistema ng decimal na numero, at pagkatapos ay ang resultang resulta sa kinakailangang sistema ng numero.

Pag-convert ng mga numero mula sa anumang sistema ng numero patungo sa sistema ng decimal na numero

Upang i-convert ang isang numero mula sa anumang sistema ng numero sa decimal, sapat na upang bilangin ang mga digit nito, simula sa zero (ang digit sa kaliwa ng decimal point) katulad ng mga halimbawa 1 o 2. Hanapin natin ang kabuuan ng mga produkto ng mga digit ng numero sa pamamagitan ng base ng sistema ng numero sa kapangyarihan ng posisyon ng digit na ito:

1. I-convert ang numerong 1001101.1101 2 sa sistema ng decimal na numero.
Solusyon: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Sagot: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. I-convert ang numerong E8F.2D 16 sa sistema ng decimal na numero.
Solusyon: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Sagot: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Pag-convert ng mga numero mula sa sistema ng decimal na numero patungo sa isa pang sistema ng numero

Upang i-convert ang mga numero mula sa sistema ng decimal na numero patungo sa isa pang sistema ng numero, ang integer at fractional na bahagi ng numero ay dapat na i-convert nang hiwalay.

Pag-convert ng integer na bahagi ng isang numero mula sa isang decimal number system patungo sa isa pang number system

Ang isang bahagi ng integer ay kino-convert mula sa isang sistema ng decimal na numero patungo sa isa pang sistema ng numero sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahati sa bahagi ng integer ng isang numero sa base ng sistema ng numero hanggang sa makuha ang isang buong natitira na mas mababa kaysa sa base ng sistema ng numero. Ang resulta ng pagsasalin ay isang talaan ng natitira, simula sa huli.

3. I-convert ang numerong 273 10 sa octal number system.
Solusyon: 273 / 8 = 34 at natitirang 1. 34 / 8 = 4 at natitirang 2. Ang 4 ay mas mababa sa 8, kaya kumpleto ang pagkalkula. Ang rekord mula sa natitira ay magkakaroon susunod na view: 421
Pagsusulit: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, pareho ang resulta. Nangangahulugan ito na ang pagsasalin ay ginawa nang tama.
Sagot: 273 10 = 421 8

Isaalang-alang natin ang pagsasalin ng mga regular na decimal fraction sa iba't ibang sistema ng numero.

Pag-convert ng fractional na bahagi ng isang numero mula sa decimal number system patungo sa isa pang number system

Ipaalam sa amin ipaalala sa iyo na ang tama decimal tinawag tunay na numero na may zero integer na bahagi. Upang i-convert ang naturang numero sa isang sistema ng numero na may base N, kailangan mong sunud-sunod na i-multiply ang numero sa N hanggang sa mapunta ang fractional na bahagi sa zero o makuha ang kinakailangang bilang ng mga digit. Kung, sa panahon ng pagpaparami, ang isang numero na may bahaging integer maliban sa zero ay nakuha, kung gayon ang bahagi ng integer ay hindi na isasaalang-alang pa, dahil ito ay sunud-sunod na ipinasok sa resulta.

4. I-convert ang numerong 0.125 10 sa binary number system.
Solusyon: 0.125·2 = 0.25 (0 ang integer na bahagi, na magiging unang digit ng resulta), 0.25·2 = 0.5 (0 ang pangalawang digit ng resulta), 0.5·2 = 1.0 (1 ang ikatlong digit ng resulta, at dahil ang fractional na bahagi ay zero , kung gayon ang pagsasalin ay nakumpleto).
Sagot: 0.125 10 = 0.001 2

Mga bagay