Числа преследуют человека везде. Даже наше тело созвучно их миру - мы имеем определенное количество органов, зубов, волос и кожных клеток. Счет стал привычным, автоматическим действием, поэтому сложно представить, что когда-то люди не знали цифр. На самом деле история возникновения чисел прослеживается с самых древних времен.

Числа и первобытные люди

В какой-то момент человек ощутил большую потребность в счете. На это его

подтолкнула сама жизнь. Необходимо было каким-то образом организовывать племя, отправляя на охоту или собирательство только определенное количество человек. Поэтому для счета пользовались пальцами на руках. До сих пор есть племена, которые вместо цифры «5» показывают одну руку, а вместо десяти - две. С такого простого алгоритма счета и начала развиваться история возникновения чисел.

Простые числа

История возникновения чисел позволяет заметить, что люди довольно давно обнаружили разницу между нечетной и четной цифрой, а также различные взаимосвязи внутри самих числовых выражений. Немалый вклад в подобные
исследования внесли древние греки. Например, греческий ученый Эратосфен создал довольно легкий способ поиска простых чисел. Для этого он записывал нужное количество цифр по порядку, а потом начинал вычеркивать - сначала все числа, которые можно делить на два, потом - на три. В результате получался список цифр, которые ни на что не делятся, кроме единицы и себя самого. Этот метод был назван «решето Эратосфена» из-за того, что греки не вычеркивали, а выкалывали ненужные числа на табличках, покрытых воском.

Таким образом, история возникновения чисел - явление древнее и глубинное. По оценкам ученых, оно началось еще около 30 тысяч лет назад. За это время в жизни человека успело поменяться многое. Но и по сей день руководит нашим бытием.

Отдел образования и молодежной политики администрации

Яльчикского района Чувашской Республики

Проект
Простые числа…

Так ли проста их история?

Выполнила ученица 7 класса МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Ефимова Марина

Руководитель: учитель математики I категории МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Кириллова С.М.

с.Новые Шимкусы - 2007

1. 
   Определение простых чисел 3
2. 
   Заслуги Эйлера 3
3. 
   Основная теорема арифметики 4
4. 
   Простые числа Мерсена 4
5. 
   Простые числа Ферма 5
6. 
   Решето Эратосфена 5
7. 
   Открытие П.Л.Чебышева 6
8. 
   Проблема Гольдбаха 7
9. 
   И.М.Виноградов 8
10. 
    Заключение 8
11. 
    Литература 10

Определение простых чисел

Интерес к изучению простых чисел возник у людей в глубокой древности. И вызван он был не только практи­ческой необходимостью. Привлекала их необычайная ма­гическая сила. Числа, которыми можно выразить коли­чество любых предметов. Неожиданные и в то же время естественные свойства натуральных чисел, обнаруженные древними математиками, удивляли их своей замечатель­ной красотой и вдохновляли на новые исследования.

Должно быть, одним из первых свойств чисел, откры­тых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителей, например,

6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10, в то время как другие, например 3, 7, 13, 37, не могут быть разложены подобным образом.

Когда число с = а b является произведением двух чисел а и b, то числа а и b называются множителями или дели­телями числа с. Каждое число может быть представлено в виде произведения двух сомножителей. Например, с = 1 *с = с*1.

Простым называется число, которое делится только само на себя и на единицу.

Единица, имеющая только один делитель, к простым числам не относится. Не относится она и к составным числам. Единица занимает особое положение в числовом ряду. Пифагорейцы учили, что единица - матерь всех чисел, дух, из которого происходит весь видимый мир, она есть разум, добро, гармония.

В Казанском университете профессор Никольский с помощью единицы ухитрился доказать существование Бога. Он говорил: «Как не может быть числа без едини­цы, так и Вселенная без единого Владыки существовать не может».

Единица и в самом деле - число уникальное по свой­ствам: она делится только сама на себя, но любое другое число на нее делится без остатка, любая ее степень рав­на тому же самому числу - единице!

После деления на нее ни одно число не изменяется, а если и поделить любое число на самое себя, получится опять же единица! Не удивительно ли это? Поразмыслив над этим, Эйлер заявил: «Нужно исключить единицу из последовательности простых чисел, она не является ни простым, ни составным».

Это было уже существенно важное упорядочивание в темном и сложном вопросе о простых числах.

Заслуги Эйлера

Леонард Эйлер

(1707-1783)

У Эйлера учились все - ив Западной Европе, и в Рос­сии. Диапазон его творчества широк: дифференциальное и интегральное исчисления, алгебра, механика, диоптри­ка, артиллерия, морская наука, теория движения планет и Луны, теория музыки - всего не перечислить. Во всей этой научной мозаике находится и теория чисел. Эйлер отдал ей немало сил и немалого добился. Он, как и многие его предшественники, искал магическую формулу, которая позволяла бы выделить простые числа из бесконечного множества чисел натурального ряда, т. е. из всех чисел, какие можно себе представить. Эйлер написал бо­лее ста сочинений по теории чисел.

...Доказано, например, что число простых чисел неограниче­но, т. е.: 1) нет самого большого простого числа; 2) нет последне­го простого числа, после которо­го все числа были бы составными. Первое доказательство этого положения принадлежит ученым древней Греции (V-Ш вв. до н. э.), второе доказательство - Эйлеру (1708-1783).

Основная теорема арифметики

Всякое натуральное число, отличное от 1, либо явля­ется простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причем однозначно, если не обращать внимания на порядок следования множителей.

Доказательство. Возьмем натуральное число п≠ 1. Если n - простое, то это тот случай, о котором сказано в заключении теоремы. Теперь предположим, что n - со­ставное. Тогда оно представлено в виде произведения п = а b , где натуральные числа а и b меньше n. Опять либо a и b - простые, тогда все доказано, либо хотя бы одно из них составное, т. е. составлено из меньших множителей и так далее; в конце концов мы получим разложение на про­стые множители.

Если число n не делится ни на одно простое, не пре­восходящее √ n , то оно является простым.

Доказательство. Предположим противное, пусть n - составное и п = аЬ, где 1 ≤b и р - простой делитель числа а, значит, и числа n. По усло­вию п не делится ни на одно простое, не превосходящее √ n . Следовательно, р >√ n . Но тогда а >√ n и √ n ≤ а ≤ b,

откуда п = а b = √ n √ n = п; пришли к противоречию, предположение было неверным, теорема доказана.

Пример 1. Если с = 91, то √ с = 9, ... проверим про­стые числа 2, 3, 5, 7. Находим, что 91 = 7 13.

Пример 2. Если с = 1973, то находим √ c = √ 1973 =44, ...

так как ни одно простое число до 43 не делит с, то это число является простым.

Пример 3. Найдите простое число, следующее за про­стым числом 1973. Ответ: 1979.

Простые числа Мерсена

В течение нескольких столетий шла погоня за просты­ми числами. Многие математики боролись за честь стать открывателями самого большого из известных простых чисел.

Простые числа Мерсена являются простыми числами специального вида M p = 2 p - 1

где р - другое простое число.

Эти числа вошли в математику давно, они появляются еще в евклидовых размышлениях о современных числах. Свое название они получили в честь французского монаха Меренна Мерсена (1589-1648), который долго занимался проблемой современных чисел.

Если вычислять числа по этой формуле, получим:

M 2 = 2 2 – 1 = 3 – простое;

M 3 = 2 3 – 1 = 7 – простое;

M 5 = 2 5 – 1 = 31– простое;

M 7 = 2 7 – 1 = 127 – простое;

M 11 = 2 11 – 1 = 2047 = 23 * 89

Общий способ нахождения больших простых чисел Мерсена состоит в проверке всех чисел M p для различных простых чисел р.

Эти числа очень быстро увеличиваются и столь же быстро увеличиваются затраты труда на их нахождение.

В исследовании чисел Мерсена можно выделить ран­нюю стадию, достигшую своей кульминации в 1750 г., когда Эйлер установил, что число M 31 является простым. К тому времени было найдено восемь простых чисел Мер­сена: " г

р = 2, р= 3, р = 5, р = 7, р = 13, р = 17, р = 19, р =31.

Эйлерово число M 31 оставалось самым большим из из­вестных простых чисел более ста лет.

В 1876 г. французский математик Лукас установил, что огромное число M 127 - с 39 цифрами. 12 простых чисел Мерсена были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использова­лись механические настольные счетные машины.

Появление вычислительных машин с электрическим приводом позволило продолжить поиски, доведя их до р = 257.

Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось новых простых чисел Мерсена.

Затем задача была переложена на ЭВМ.

Самое большое известное в настоящее время простое число имеет 3376 цифр. Это число было найдено на ЭВМ в Иллинойском университете (США). Математический факультет этого университета был так горд своим достиже­нием, что изобразил это число на своем почтовом штемпе­ле, таким образом воспроизводя его на каждом отсылае­мом письме для всеобщего обозрения.

Простые числа Ферма

Существует еще один тип про­стых чисел с большой и интерес­ной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601-1665), кото­рый прославился своими выдающи­мися математическими работами.

Пьер Ферма (1601-1665)
Первыми простыми числами Ферма были числа, которые удов­летворяли формуле F n =
+ 1.

F 0 =
+ 1 = 3;

F 1 =
+ 1 = 5;

F 2 =
+ 1 = 17;

F 3 =
+ 1 = 257;

F 4 =
+ 1 = 65537.

Однако, это предположение было сдано в архив не­оправдавшихся математических гипотез, но после того, как Леонард Эйлер сделал еще один шаг и показал, что следующее число Ферма F 5 = 641 6 700 417 является со­ставным.

Возможно, что история чисел Ферма была бы законче­на, если бы числа Ферма не появились в совсем другой задаче - на построение правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки.

Однако ни одного простого числа Ферма не было най­дено, и сейчас многие математики склонны считать, что их больше нет.
Решето Эратосфена

Существуют таблицы простых чисел, простирающих­ся до очень больших чисел. Как подступиться к составле­нию такой таблицы? Эта задача была, в известном смыс­ле, решена (около 200 г. до н. э.) Эратосфеном, математи­ком из Александрии. -

Его схема состоит в следующем. Напишем последова­тельность всех целых чисел от 1 до числа, которым мы хотим закончить таблицу.

Начнем с простого числа 2. Будем выбрасывать каж­дое второе число. Начнем с 2 (кроме самого числа 2), т. е. четных чисел: 4, 6, 8, 10 и т. д., подчеркиваем каждое из них.

После этой операции первым неподчеркнутым числом будет 3. Оно простое, так как не делится на 2. Оставляя число 3 неподчеркнутым, будем подчеркивать каждое тре­тье число после него, т. е. числа 6, 9, 12, 15... Некоторые из них были уже подчеркнуты, поскольку они являются четными. На следующем шаге первым неподчеркнутым числом окажется число 5; оно простое, так как не делится ни на 2, ни на 3. Оставим число 5 неподчеркнутым, но подчеркнем каждое пятое число после него, т. е. числа 10, 15, 20... Как и раньше, часть из них оказалась под­черкнутой. Теперь наименьшим неподчеркнутым числом окажется число 7. Оно простое, так как не делится ни на одно из меньших его простых чисел 2, 3, 5. Повторяя этот процесс, мы в конце концов получим последовательность неподчеркнутых чисел; все они (кроме числа 1) являются простыми. Этот метод отсеивания чисел известен как «решето Эратосфена». Любая таблица простых чисел создается по этому принципу.

Эратосфен создал таблицу простых чисел от 1 до 120 более 2000 лет назад. Он писал на папирусе, натянутом на рамку, или на восковой дощечке, и не зачеркивал, как это делаем мы, а прокалывал составные числа. Получа­лось нечто вроде решета, через которое «просеивались» составные числа. Поэтому таблицу простых чисел назы­вают «решетом Эратосфена».

Сколько всего простых чисел? Есть ли последнее про­стое число, т. е. такое, после которого все числа будут составными? Если такое число есть, то как его найти? Все эти вопросы интересовали ученых еще в глубокой древно­сти, но ответ на них оказалось не так-то просто найти.

Эратосфен был остроумнейшим человеком. Этот совре­менник и друг Архимеда, с которым он постоянно пере­писывался, был и математиком, и астрономом, и механи­ком, что считалось естественным для великих мужей того времени. Он первым измерил диаметр земного шара, при­чем не выходя из александрийской библиотеки, где рабо­тал. Точность его измерения была поразительно высокой, даже выше той, с которой измерил Землю Архимед.

Эратосфен изобрел хитроумный прибор - мезолабит, с помощью которого механически решил известную зада­чу об удвоении куба, чем очень гордился, и потому отдал распоряжение изобразить этот прибор на колонне в Алек­сандрии. Мало того, он поправил египетский календарь, добавив один день к четырем годам - в високосный год.

Решето Эратосфена - это примитивное и в то же вре­мя гениальное изобретение, до которого не додумался и Евклид, - наводит на общеизвестную мысль, что все гениальное просто.

Эратосфеново решето неплохо поработало на исследо­вателей далеко не простых чисел. Шло время. Шли поис­ки способов отлова простых чисел. Началось своеобразное соревнование на изыскание наибольшего простого числа с древнейших времен до Чебышева и даже до наших дней.
Открытие П.Л. Чебышева

Итак, число простых чисел бесконечно. Мы уже виде­ли, что простые числа размещаются без какого-либо по­рядка. Проследим более подробно.

2 и 3 - простые числа. Это единственная пара про­стых чисел, стоящих рядом.

Затем идут 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и т.д. Это так называемые смежные простые числа или близнецы. Близ­нецов много: 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73, 101 и 103, 827 и 829 и т. д. Самая большая известная сейчас пара близнецов такая: 10016957 и 10 016 959.

Панфутий Львович Чебышев

Как же распределены простые числа в натуральном ряду, в котором не будет ни одного простого числа? Есть ли какой-нибудь закон в их распреде­лении или нет?

Если есть, то какой? Как найти его? Но ответ на эти вопросы не находился более 2000 лет.

Первый и очень большой шаг в раз­решении этих вопросов сделал великий русский ученый Панфутий Львович Чебышев. В 1850 г. он доказал, что меж­ду любым натуральным числом (не рав­ным 1) и числом, в два раза больше его (т. е. между n и 2n), находится хотя бы одно простое число.
Проверим это на несложных примерах. Примем для n несколько произвольных значений n. и найдем соответственно значение 2n.

n = 12, 2n = 24;

n = 61, 2n = 122;

n = 37, 2n = 74.

Мы видим, что для рассмотренных примеров теорема Чебышева верна.

Чебышев доказал ее для любого случая, для любого n. За эту теорему его назвали победителем простых чисел. Открытый Чебышевым закон распределения простых чи­сел был поистине фундаментальным законом в теории чисел после закона, открытого Евклидом, о бесконечно­сти количества простых чисел.

Едва ли не самый добрый, самый восторженный от­клик на открытие Чебышева пришел из Англии от извест­ного математика Сильвестра: «...Дальнейших успехов те­ории простых чисел можно ожидать тогда, когда родится некто, настолько превосходящий Чебышева своей прони­цательностью и вдумчивостью, насколько Чебышев пре­восходит этими качествами обыкновенных людей».

Более чем полвека спустя немецкий математик Э. Лан­дау, крупный специалист в теории чисел, добавил к это­му высказыванию следующее: «Первым после Евклида Чебышев пошел правильным путем при решении пробле­мы простых чисел и достиг важных результатов».
Проблема Гольдбаха

Выпишем все простые числа от 1 до 50:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

А теперь попытаемся любое число от 4 до 50 предста­вить в виде суммы двух или трех простых чисел. Возьмем несколько чисел наугад:

Как видим, поставленную задачу мы выполнили без труда. А всегда ли это возможно? Любое ли число можно представить в виде суммы нескольких простых чисел? И если можно, то скольких: двух? трех? десяти?

В 1742 г. член Петербургской академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел.

Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встре­тил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой за­дачей, которая названа «проблемой Гольдбаха» и сформу­лирована следующим образом.

Требуется доказать или опровергнуть предложение:

всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.

Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разре­шить проблему Гольдбаха-Эйлера, но безуспешно. Мно­гие пришли к выводу о невозможности ее решить.

Но решение ее, и почти полностью, было найдено в 1937 г. советским математиком И.М. Виноградовым.

И.М. Виноградов

Иван Матвеевич Виноградов явля­ется одним из крупнейших современ­ных математиков. Родился он 14 сен­тября 1891 г. в селе Милолюб Псков­ской губернии. В 1914 г. окончил Пе­тербургский университет и был остав­лен для подготовки к профессорскому званию.

Свою первую научную работу И.М. Виноградов написал в 1915 г. С тех пор им написано более 120 различных научных работ. В них он разрешил много задач, над кото­рыми ученые всего мира трудились десятки и сотни лет.

Иван Матвеевич Виноградов
За заслуги в области математики И.М. Виноградов все­ми учеными мира признан одним из первых математиков современности, избран в число членов многих академий мира.

Мы гордимся нашим замечательным соотечественни­ком.

Заключение.
Из класса - в мировое пространство

Беседу о простых числах начнем увлекательным рас­сказом о воображаемом путешествии из класса в мировое пространство. Это воображаемое путешествие придумал известный советский педагог-математик профессор Иван Козьмич Андронов (род. в 1894 г.). «...а) мысленно возьмем прямолинейный провод, вы­ходящий из классной комнаты в мировое пространство, пробивающий земную атмосферу, уходящий туда, где Луна совершает вращение, и далее - за огненный шар Солнца, и далее - в мировую бесконечность;

б) мысленно подвесим на провод через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная с бли­жайшей: 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1 000 000...;

в) мысленно включим ток с таким расчетом, чтобы загорелись все лампочки с простыми номерами и только с простыми номерами; : .

г) мысленно долетим вблизи провода.

Перед нами развернется следующая картина.

1. Лампочка с номером 1 не горит. Почему? Потому что единица не есть простое число.

2. Две следующие лампочки с номерами 2 и 3 горят, так как 2 и 3 - оба простые числа. Могут ли в дальней­шем встретиться две смежные горящие лампочки? Нет, не могут. Почему? Всякое простое число, кроме двух, есть число нечетное, а смежные с простым по ту и другую сто­рону будут числа четные, а всякое четное, отличное от двух, является составным числом, так как делится на два.

3. Дальше наблюдаем пару лампочек, горящих через одну лампочку с номерами 3 и 5, 5 и 7 и т. д. Понятно, почему они горят: это близнецы. Замечаем, что в даль­нейшем они встречаются реже; все пары близнецов, как и пары простых чисел, имеют вид 6n ± 1; например

6*3 ± 1 равно 19 и 17

или 6*5 ± 1 равно 31 и 29, ...;

но 6*20 ± 1 равно 121 и119- эта пара не близнец, так как есть пара составных чи­сел.

Долетаем до пары близнецов 10 016 957 и 10 016 959. Будут ли и дальше пары близнецов? Современная наука пока ответа не дает: неизвестно, существует ли конечное или бесконечное множество пар близнецов.

4. Но вот начинает действовать закон большого проме­жутка, заполненного только составными номерами: летим в темноте, смотрим назад - темнота, и впереди не видно света. Вспоминаем свойство, открытое Евклидом, и смело движемся вперед, так как впереди должны быть светя­щиеся лампочки, и впереди их должно быть бесконечное множество.

5. Залетев в такое место натурального ряда, где уже несколько лет нашего движения проходит в темноте, вспо­минаем свойство, доказанное Чебышевым, и успокаива­емся, уверенные, что во всяком случае, надо лететь не больше того, что пролетели, чтобы увидеть хотя бы одну светящуюся лампочку».
Литература
1. Великий мастер индукции Леонард Эйлер.

2. За страницами учебника математики.

3. Прудников Н.И. П.Л. Чебышев.

4. Сербский И. А. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах.

5. Издательский дом «Первое сентября». Математика №13, 2002 г.

6. Издательский дом «Первое сентября». Математика №4, 2006 г.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

города Абакана

«Средняя общеобразовательная школа № 19»

Математика

Простые числа-это просто

Лысова

Эльмира,

6 Б класс

Руководитель:

Быковская

Ирина Сергеевна,

учитель математики

КОД _____________________________

Математика

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА - ЭТО ПРОСТО

ОГЛАВЛЕНИЕ:

Введение

Глава 1. Простые числа

1.1. Определение простого числа.

1.2. Бесконечность ряда простых чисел.

1.3. Самое большое простое число.

1.4. Способы определения (поиска) простых чисел.

Глава 2. Применение теории простых чисел

2.1. Примеры некоторых утверждений теории простых чисел известных советских ученых.

2.2.Примеры ряда проблем в теории простых чисел.

2.3. Задачи прикладного характера (№1, №2)

2.4.Задачи на применение законов простых чисел(№3 №,4)

2 .5. Магические квадраты.

2.6.Применение закона простых чисел в различных областях

Заключение

Приложение

«В мире царит гармония,

и выражена эта гармония – в числах»

Пифагор.

ВВЕДЕНИЕ

Математика удивительна. Действительно, доводилось ли кому-либо видеть своими глазами число (не три дерева и не три яблока, а само число 3). С одной стороны, число есть вполне абстрактное понятие. Но, с другой стороны, всё, происходящее в мире, может быть в той или иной степени измерено, а значит, представлено в числах

На уроках математике при изучении темы «Простые и составные числа» меня заинтересовали простые числа, история их возникновения и способы получения. Я обратилась в библиотеку, интернет, где и приобрела нужную литературу. Хорошенько изучив её, я поняла, что существует очень много интересной информации о простых числах. Простые числа, которые были введены примерно две с половиной тысячи лет назад, а нашли неожиданное практическое применение совсем недавно. Узнала, что существуют Законы простых чисел, выраженные через формулу, но есть ряд проблем в теории чисел. Несмотря на то, что сейчас мы живем в век компьютеров и самых современных информационных программ, многие загадки простых чисел не решены до сих пор, есть даже такие, к которым ученые не знают, как подступиться. Знание открытых законов позволяет создать качественно новые решения во многих областях, интересуют как ученых, так и простых граждан. Тема заинтересовала и меня. Объектом исследования являются исключительно абстрактное понятие – простое число . Предметом изучения простого числа послужили: теория о простых числах, способы их задания, интересные открытия в этой области и их применение в практических целях.

Целью моей работы является расширение представлений о простых числах. Определила следующие задачи:

познакомиться с историей развития теории о простых числах,

сформировать общее представление о способах нахождения простых чисел,

узнать интересные достижений советских ученых в области теории простых чисел,

рассмотреть некоторые проблемы в теории простых чисел,

познакомиться с применения теории простых чисел в различных областях,

понять принцип выделения простых чисел из натурального ряда с помощью способа «Решето Эратосфена» в пределах до 100; 1000,

изучить применение простых чисел в задачах.

I . ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

1. Понятие простого числа

Простые числа - одно из чудес математик. Один, два, три... С этими словами вступаем мы в страну чисел, она не имеет границ. С виду плоские, близкие числа при более близком знакомстве с ними опаляют нас своим внутренним жаром, обретают глубину.

С разложением чисел на множители мы знакомы с начальной школы. При отыскании общего знаменателя приходится разлагать на множители знаменатели слагаемых. Разлагать на множители приходится при сокращении дробей. Одно из основных утверждений арифметики гласит: каждое натуральное число единственным образом разлагается на простые множители.

72 = 2x2x2x3x3

1001 = 7 х 11 х 13

Разложение чисел на простые множители показывает, что всякое число является либо простым, либо произведением двух или нескольких простых чисел. Поэтому можно сказать, что простые числа являются составными элементами натуральных чисел, как бы кирпичами, из которых, при помощи действия умножения, составляются все целые числа.

Простым числом называется натуральное число, имеющее только два различных делителя (само число и 1).

Несколько любопытных фактов.

Число 1 не является простым числом и не составным.

Единственным четным числом, попавшим в группу «простые числа» является двойка. Любое другое четное число сюда попасть попросту не может, так как уже по определению, кроме себя и единицы, делится еще и на два.

Простые числа не появляются в натуральном ряду беспорядочно, как это может показаться на первый взгляд. Внимательно проанализировав их, можно сразу заметить несколько особенностей, наиболее любопытны числа - «близнецы»- простые числа, разность между которыми равна2 . Называют их так потому, что они оказались по соседству друг с другом, разделенные только четным числом (пять и семь, семнадцать и девятнадцать). Если внимательно к ним присмотреться, то можно заметить, что сумма этих чисел всегда кратна трем. Пары близнецов с общим элементомобразуют пары простых чисел - «двойников» (три и пять , пять и семь).

1. Бесконечность ряда простых чисел.

Издавна бросалась в глаза нерегулярность распределения простых чисел среди всех натуральных чисел. Было замечено, что по мере продвижения от малого числа к большему в натуральном ряду простые числа встречаются всё реже. Поэтому одним из первых вопросов был такой: существует ли последнее простое число, то есть, имеет ли ряд простых чисел конец? Около 300 лет до нашей эры на этот вопрос дал отрицательный ответ знаменитый древнегреческий математик Евклид. Он доказал, что за каждым простым числом имеется, ещё большее простое число, то есть, существует бесчисленное множество простых чисел.

Самое старое известное доказательство этого факта было дано в « » (книга IX, утверждение 20).

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Итак, нельзя принять, что ряд простых чисел конечен: предположение это приводит к противоречию. Таким образом, какую бы длинную серию последовательности составных чисел мы не встретили в ряду натуральных чисел, мы можем быть убеждены в том, что за нею найдется ещё бесконечное большее число.

Математики предлагали и другие доказательства.

1.3.Самое большое простое число.

Одно дело быть уверенным в том, что существуют какие угодно большие простые числа, а другое дело - знать, какие числа являются простыми. Чем больше натуральное число, тем больше вычислений надо провести, чтобы узнать, является ли оно простым или нет.

Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер в ХVIII столетии, он нашел простое число 2147483647.

Наибольшим известным простым число-рекордсмен по состоянию на июнь 2009 года является 2 в степени 43112609 – 1 (открыл Купера из Университета Центрального Миссури в СШ А). Оно содержит 12 978 189 и является простым . Благодаря этому ученому простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые. Чтобы их определить, потребовалось 75 мощных компьютеров.

Числа вида: 2 в степени n минус 1 , где n тоже простое число, относятся к числам Мерсенна . Купера сделал новое математическое открытие в 2013 г.. Ему удалось найти самое длинное простое число в мире. Записано оно следующим образом – 2 в степени 57885161 - 1. Число содержит более 17 миллионов цифр. Для того чтобы распечатать его на бумаге понадобится более 13 тысяч страниц формата А4.
Теперь новый рекорд в классе простых чисел Мерсенна записывается как 2 в степени 57885161 - 1 , в нём 17425170 цифр. Открытие нового рекордсмена принес Куперу денежный приз в размере 3 тысяч долларов

Фонд Электронных Рубежей также обещает наградить 150 и 250 тысячами долларов США людей, которые представят миру простые числа, состоящие из 100 миллионов и миллиарда символов

1. Способы определения (поиска) простых чисел.

а) Решето Эратосфена.

Существуют различные способы поиска простых чисел. Первый, кто занимался задачей «выписать из множества натуральных чисел простые», был великий греческий математик древности Эратосфен, живший почти 2 300 лет назад. Он придумал такой способ: записал все числа от единицы до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные двум, т.е. 4,6,8 и т.д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после трех (числа, кратные 3, т.е. 6, 9, 12, и т.д.), в конце концов оставались не вычеркнутыми только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13,….

Таким образом, Эратосфен изобрёл способ, посредством которого можно отсеять все простые числа от 1 до некоторого определённого числа путем вычленения всех чисел кратных каждому простому числу. Этот способ называется «Решето Эратосфена». - самый простой способ нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения.

Греки делали записи на покрытых воском табличках или на папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето.

Возможно, ли распознать простое число, как говорится, с первого взгляда? Если зачерпнуть в сито сразу много чисел, сверкнет ли среди них простое, как золотой самородок? Некоторые считают, что да. Например, числа, оканчивающиеся на 1, часто оказываются искомыми, скажем, такие как 11, 31, 41. Однако при этом следует быть осторожным и не принять фальшивое золото за чистое, как, скажем, 21 или 81. По мере роста величины чисел, единица на конце все чаще вводит нас в заблуждение. Создается даже впечатление будто простые числа, в конце концов, просто исчезают, как полагали некоторые древние греки.

б) Составление таблиц способом «Решета Эратосфена»

а) Решето Эратосфена, как теоретический метод исследования, в теории чисел был введен в 1920 году Норвежским математиком В.Бруном. Используя этот способ, ученые составили таблицы простых чисел между 1 и 12 000 000

Истинным героем в составлении таблицы простых чисел является профессор Чешского университета в Праге Якуб Филип Кулик (1793-1863).

Он, не имея никаких видов на печатание своего труда, составил таблицу делителей чиселпервых ста миллионов , точнее чисел до 100 320 201 , и поместил её в библиотеке Венской Академии наук для пользования работающими в этой области.

Мы на уроках математики пользуемся таблицей, приведенной на форзаце учебника в пределах 1000.

в) Составление таблиц с помощью вычислительной техники

Внедрение средств вычислительной техники в теоретическую и прикладную математику существенно облегчило решение задач, связанных с трудоёмкими расчётами.

В память достаточно сложных компьютеров можно заложить табличные данные любого объёма, однако такими возможностями пока ещё не обладают калькуляторы индивидуального пользования. Поэтому над проблемами составления компактных и удобных таблиц, предназначенных, в частности, для анализа чисел, продолжают работать специалисты-математики.

Применение для этой цели вычислительных машин позволило сделать весьма существенный шаг вперёд. Например, современная таблица чисел, для составления которой была привлечена вычислительная техника, охватывает числа до 10 000 000 . Это довольно объёмистая книга.

На практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются .

Использование специализированных алгоритмов по определению простоты числа (является ли число простым?) позволяет осуществить поиски простого числа в заданных пределах натурального ряда чисел.

д) Открытие века – Закон простыхчисел

Еще в глубокой древности ученых интересовал вопрос о том, по какому закону расположены в натуральном ряду простые числа. Русский Пифагор – Владимир Хренов – своим открытием Закона простых чисел произвел шок в научном мире. Этот закон не только возвращает математику в правильное русло, но и объясняет многие законы природы с точки зрения истинного познания мира. Русский гений, Владимир Хренов сделал научное открытие , которое переворачивает существующее представление о времени и пространстве , что простые числа - это не хаос .

Простые числа получаются по формуле: «6Х плюс-минус 1» , где Х любое натуральное число.

13=6 *2-1; 13=6 *2-1; 19=6 *3+1; 31=6 *5+1;

Открытие было сделано 30 апреля 2000 года. Это была юбилейная Пасха Воскресения Христа. Знаменательная дата. В этот день открылась истинная модель реального пространства и времени. 7 января 2001 года был описан закон простых чисел, а вместе с ним – закономерности формирования всех чисел натурального ряда. Так вот, после открытия закона простых чисел стало понятно, что е диница – эталон пространства, шесть – эталон времени, а в совокупности два эталона пространства и времени творят все многообразие природы и являются вечной первопричиной всего . Теперь, после открытия Закона простых чисел, стало ясно, что они образуются научное обоснование магии числа 7. Данный закон имеет не только колоссальное мировоззренческое, но позволяет создавать технологии защиты информации нового поколения, основанные на данной теории. Для создания нового нужно новое простое число. Вот почему математикам, открывшим его, выплачивают такие огромные суммы.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

1. Примеры некоторых утверждений теории простых известных советских ученых по теории простых чисел.

Хотя со времени Евклида прошло более двух тысяч лет, к его теории ничего нового не добавилось. Простые числа в натуральном ряду располагаются чрезвычайно прихотливо. Однако, существует огромное количество загадок, связанных с простыми числами.

Большие заслуги в области изучения простых чисел принадлежат русским и советским математикам. Меня заинтересовали простые и в то же время удивительные утверждения, которые доказали в этой области известные советские ученые. Я их рассмотрела и привела ряд примеров, подтверждающих истину высказываний.

П.Л.Чебышев (1821-1894) доказал, что между любым натуральным числом больше 1, и числом вдвое больше данного, всегда имеется хотя бы одно простое число.

Рассмотрим следующие пары простых чисел, удовлетворяющих этому условию.

Примеры:

и 4 - простое число 3.

и 6 - простое число 5.

10 и 20 -простые числа 11; 13; 17; 19.
5 и 10 - простое число 7.

7 и 14 - простые числа 11; 13.

11 и 22 - простые числа 13; 17; 19.

Вывод : действительно, между любым натуральным числом больше 1 и числом вдвое больше данного, имеется хотя бы одно простое число.

Христиан Гольдбак, член Петербургской академии наук, почти 250 лет назад высказал предложение, что любое нечетное число больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел.

Примеры:

21 = 3 + 7 + 11,

37 = 17 + 13 + 7,

23= 5 + 7 + 11,

29= 11 + 13 + 5,

Виноградов ИМ. (1891-1983), советский математик, доказал это предложение лишь 200 лет спустя.

7 = 2 + 2 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5,

9 = 3+3 + 3, 20 = 7 + 11 + 2.

Но утверждение « Любое четное чисто, больше 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел » до сих пор не доказано.

Примеры:

28= 11 + 17, 924 = 311 + 613,

56= 19 + 37, 102 = 59 + 43.

2.2 Примеры ряда проблем в теории простых чисел.

Проблема отсутствия закономерностей распределения простых чисел занимает умы человечества еще со времен древнегреческих математиков. Благодаря Евклиду мы знаем, что простых чисел бесконечно много. Эрастофен, Сундарам предложили первые алгоритмы тестирования чисел на простоту. Эйлер, Ферма, Лежандр и многие другие известные математики пытались и пытаются по сей день разгадать загадку простых чисел. На сегодняшний момент найдено и предложено множество изящных алгоритмов, закономерностей, но все они применимы лишь для конечного ряда простых чисел или простых чисел специального вида. Передним же краем науки в исследованиях простых чисел на бесконечности считается доказательство . Она входит , за доказательство или опровержение которой математическим институтом Клэя предложена премия в 1.000.000 $.

Наиболее известные проблемы простых чисел были перечислены на Пятом . Сегодня ученые говорят о 23 проблемах.

Мне удалось рассмотреть 4 из них, привести ряд примеров по каждой проблеме.

Первая проблема Ландау (проблема Гольдбаха):

доказать или опровергнуть:

Каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел.

Примеры:

8 = 3+5,

12 = 5+7,

16=13 +3, 17= 11+3+3,

24=19+5, 21=11+7+3

50 = 13+37

Вторая проблема Ландау (проблема Гольдбаха) :

бесконечно ли множество «простых близнецов» - простых чисел, разность между которыми равна 2?

а) Определила следующие числа «близнецы»:

3 и 5; 5 и 7; 7 и 9; 11 и 13, 17 и 19; 41 и 43;

б). Пары близнецов состоят из двойников с общим элементом. Мне удалось найти следующие пары близнецов - «двойников»

Решение:

(3, 5) и (5, 7);

Известно, что простых чисел бесконечно много. Но никто не знает, конечно, или бесконечно множество пар близнецов.

Третья проблема Ландау (гипотеза )

верно ли, что между числами вида n2 и (n + 1)2 всегда найдётся простое число?( n – нечетное число)

Решение:

а) при n =3, получим 6 и 8, между ними простое число 7.

б) при n =5, получим 10 и 12, между ними простое число 11.

в) при n =9, получим 18 и 20, между ними простое число 19.

4.Четвёртая проблема Ландау:

бесконечно ли множество простых чисел вида n2 + 1?

Решение:

при n =1, то имеем 3; при n =2, то имеем 5; при n =3, то имеем 7

при n =5, то имеем 11, при n =6 то имеем 13; при n =8, то имеем 17 и т.д.

2.3. Задачи прикладного характера

Задача 1. С помощью решета Эратосфена определите сколько простых чисел находится от 1 до 100.

Решение:

Для этого выпишем все числа от 1 до 100 вряд. .

Будем вычеркивать числа, которые не являются простыми. Вычеркнем 1,так как это не простое число. Первое простое число 2.

Подчеркнем его и вычеркнем все числа кратные 2, то есть числа 4, 6, 8... 100 следующее простое число 3. Подчеркнём его и вычеркнем числа кратные 3, которые остались не вычеркнутыми, то есть числа 9 ? 15, 21 ... 99. Затем подчеркнем простое число 5 и вычеркнем все числа кратные 5. Числа 25...95. И так далее, пока не останется одно простое число 97.

Вывод: Между 1 и 100 находится 25 простых чисел, то есть числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. (Приложение 1)

Задача 2. Чтобы получить список простых чисел, меньше 1000 надо «отсеять» числа, которые делятся на 2, 3, 5, 7, 11 … На каком числе при этом можно остановиться?

Решение:

Используя метод Эратосфена, мной была проведена аналогичная

работа по отсеиванию составных чисел в пределах до 1000.

Вывод: чтобы получить простые чисел до 1000 можно остановиться на простом числе 31 (вычеркнуть числа кратные 31). (Приложение 2)

2.4.Задачи на применение законов простых чисел

Задача 3. Как с помощью двух проверок показать, что число 19 – простое?

Решение представлено в приложении 3.

Задача 4. Как с помощью трёх проверок показать, что число 47 – простое?

Решение представлено в приложении 4.

2.5 Магические квадраты .

Простым числам посвящено множество занимательных математических задач в применении квадратных матриц – магических квадратов, у которых суммирование элементов по любой строке, любому столбцу и двум главным диагоналям дает одно и то же число.

Первый из них была придуман Генри Эрнестом Дьюдни, известным английским специалистом по головоломкам.

Существуют ли магические квадраты, состоящие только из простых чисел? Оказывается, да.

Я изучила магические квадраты размером 3х3, 4х4., 6х6.Определила сумму вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой главной диагонали каждого из этих квадратов. Решение представлено в приложении 5.

вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой главной диагонали. привожу примеры квадратов, с матрицей 3х3, 4х4, 6х6.

1

67

43

37

13

61

73

31

7

3

61

19

37

43

31

5

41

7

11

73

29

67

17

23

13

3

1

3

9

9

1

9

8

3

9

2

9

1

6

4

3

1

2

5

1

7

4

7

1

7

1

5

9

7

1

9

3

7

3

3

9

Вывод :

1.Магический квадрат 1 размером 3х3 имеет сумму 111 (между прочим, тоже не простое число)

2. Магический квадрат 2 размером 4х4 имеет сумму?

3. Магический квадрат 3 размером 6х6 имеет сумму?

3.4. Применение закона простых чисел в различных областях.

Простые числа являются не только объектом пристального рассмотрения со стороны математиков всего мира, но уже давно и успешно используются в составлении различных рядов чисел, что является основой, в том числе, для шифрографии. Знание законов позволило дать такие запатентованные технические решения защиты передачи информации, которые на существующем математическом базисе считались просто невозможными. Простые числа необходимы для создания шифров. Рано или поздно всякий шифр рассекречивается.

Здесь ученые обращаются к одному из важнейших разделов информатики – к криптографии . Если так трудно найти следующее простое число, то где и для чего эти числа можно использовать на практике?» Наиболее распространенным примером использования простых чисел является применение их в криптографии (шифровании данных). Самые безопасные и трудно дешифруемые методы криптографии основаны на применении простых чисел, имеющих в составе более трех сотен цифр.

Я попробовала проиллюстрировать проблему, с которой сталкивается дешифровщик для расшифровки некоего пароля. Допустим, паролем является один из делителей составного числа, а дешифровщиком выступает человек. Возьмем число из первого десятка, например, 8. Каждый (я надеюсь) человек способен в уме разложить число 8 на простые множители – 8=2*2*2. Усложним задачу: возьмем число из первой сотни, например, 111. В этом случае 111 быстро разложат в уме на множители люди, знающие признаки делимости числа на 3 (если сумма цифр числа кратна 3, то данное число делится на 3), и действительно - 111=3*37. Усложняя задачу, возьмем число из первой тысячи, например 1207. Человеку (без использования машинной обработки) потребуется, как минимум, бумага и ручка, для того чтобы перепробовать деление числа 1207 на «все» предшествующие этому числу простые числа. И только перебрав последовательно деление 1207 на все простые числа от 2 до 17 человек, наконец то, получит второй целый делитель данного числа – 71. Однако и 71 необходимо так же проверить на простоту.

Становится понятно, что с увеличением разрядности чисел, например, пятизначного числа - 10001, разложение (в нашем примере дешифровка пароля) без машинной обработки займет большое количество времени. Современный этап развития компьютерной техники (доступный рядовому пользователю) позволяет за считанные секунды раскладывать на множители числа, состоящие из шестидесяти цифр.

Задумайтесь, сколько жизней должен прожить человек, чтобы разложить данное число на простые множители без помощи машин!

На сегодняшний день разложить числа, состоящие из тысячи и более цифр, за соизмеримое с человеческой жизнью время, способны только ! Именно с их помощью ученные находят все новые и новые, , простые числа.

Я узнала, что знание открытых законов позволит создать качественно новые решения в следующих областях:

Сверх защищённая операционная система для банков и корпораций.

Система борьбы с контрафактной продукцией и поддельными денежными знаками.

Система дистанционной идентификации и борьбы с угонами автотранспорта.

Система борьбы с распространением компьютерных вирусов.

Компьютеры нового поколения на нелинейной системе счисления природы.

Математико-биологическое обоснование теории гармонии восприятий.

Математический аппарат для нано – технологий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В ходе работы над данной темой мне удалось расширить представление о простых числах по следующим направлениям:

изучила интересные стороны развития теории простых чисел, познакомилась с новыми достижениями ученых доступные для моего понимания в этой области и практическом ее применении,

сформировала общее представление о способах нахождения простых чисел, освоила принцип выделения простых чисел из натурального ряда с помощью способа «Решето Эратосфена» в пределах до 100; 1000,

изучила применение теории простых чисел в задачах,

познакомилась с применением теории простых чисел в различных областях.

В ходе написания работы мне удалось освоить два способа получения ряда простых чисел:

практический способ – отсеивание (решето Эратосфена),

аналитический способ – работа с формулой (закон простых чисел).

В рамках исследования:

сделала самостоятельно проверку ряда математических утверждений путем подстановки значений, получив верные математические выражения,

определила ряд чисел «Двойники» и «Близнецы»,

составила ряд числовых выражений, обозначенных в проблемах Ландау,

проверила, что квадраты с матрицей 3х3, 4х4., 6х6 магические,

решила две задачи двумя способами на применение закона простых чисел и утверждений.

В процессе работы над темой я убедилась в том, что простые числа остаются существами, всегда готовыми ускользнуть от исследователя. Простые числа есть «сырой материал» из которого формируется арифметика, и что существуют неограниченные запасы этого материала.

Меня заинтересовали специалисты в области криптографии, которые с недавних пор пользуются известным спросом в секретных организациях. Именно они находят все новые и новые большие простые числа для постоянного обновления списка возможных ключей и стараются выявить все новые закономерности в распределении простых чисел. Простые числа и криптография - это моя дальнейшая тема по изучению теории простых чисел.

Считаю, что работа может быть использована на во внеурочной деятельности, на факультативных занятиях учащихся 6-7 классов, как дополнительный материал к урокам математики в 6 классе при подготовке сообщений по теме. Тема исследования очень интересна, актуальна, не имеет границ изучения, должна вызвать широкий интерес у учащихся.

Библиографический список

// . - 1975. - № 5. - С. 5-13.

Н. Карпушина. // . - 2010. - № 5.

Энрике Грасиан - "Простые числа. Долгая дорога к бесконечности" серия "Мир математики" том.3 Де Агостини 148с, 2014

МОУ «Частоозерская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательская работа по теме:

«Числа правят миром!»

Работу выполнила:

ученица 6а класса.

Руководитель: ,

учитель математики.

с. Частоозерье.

I. Введение. -3стр.

II. Основная часть. -4стр.

· Математика у древних греков. - 4стр.

· Пифагор Самосский. -6стр.

· Пифагор и числа. -8стр.

2. Числа простые и составные. -10стр.

3. Проблема Гольдбаха. -12стр.

4. Признаки делимости. -13стр.

5. Любопытные свойства натуральных чисел.-15стр.

6. Числовые фокусы. -18стр.

III. Заключение. -22стр.

IV. Список литературы. -23стр.

I. Введение.

Актуальность:

Изучая на уроках математики тему «Делимость чисел», учитель предложил подготовить сообщение о истории открытия простых и составных чисел. При подготовке сообщения, меня заинтересовали слова Пифагора «Числа правят миром!»

Возникли вопросы:

· Когда возникла наука о числах?

· Кто внес вклад в развитие науки о числах?

· Значение чисел в математике?

Решила подробно изучить и обобщить материал о числах и их свойствах.

Цель исследования: изучить простые и составные числа и показать их роль в математике.

Объект исследования: простые и составные числа.

Гипотеза: Если, по словам Пифагора «Числа правят миром,

то какова их роль в математике.

Задачи исследования:

I. Собрать и обобщить всевозможную информацию о простых и составных числах.

II. Показать значение чисел в математике.

III. Показать любопытные свойства натуральных чисел.

Методы исследования:

· Теоретический анализ литературы.

· Метод систематизации и обработки данных.

II. Основная часть.

1. История возникновения науки о числах.

· Математика у древних греков.

И в Египте, и в Вавилоне числами пользовались в основном для решения практических задач.

Положение изменилось, когда математикой занялись греки. В их руках математика из ремесла стала наукой.

Греческие племена стали селиться на северных и восточных берегах Средиземного моря около четырёх тысяч лет назад.

Большая часть греков осела на балканском полуострове - там, где сейчас государство Греция. Остальные расселились по островам Средиземного моря и по берегу Малой Азии.

Греки были отличными моряками. Их лёгкие остроносые корабли во всех направлениях бороздили средиземное море. Они везли посуду и украшения из Вавилона, бронзовое оружие из Египта, шкуры зверей и хлеб с берегов Чёрного моря. И конечно, как и у других народов, вместе с товарами корабли привозили в Грецию знания. Но греки не просто

учились у других народов. Очень скоро они обогнали своих учителей.

Греческие мастера строили удивительной красоты дворцы и храмы, которые потом тысячи лет служили образцом для архитекторов всех стран.

Греческие скульпторы создавали из мрамора чудесные статуи. А с греческих учёных началась не только « настоящая» математика, но и очень многие другие науки, которые мы изучаем в школе.

А знаете, почему греки обогнали в математике все другие народы? Потому, что они хорошо умели спорить.

Чем же споры могут помочь науке?

В древние времена Греция состояла из многих маленьких государств. Чуть ли не каждый город с окрестными деревнями был отдельным государством. Каждый раз, когда приходилось решать какой-нибудь важный государственный вопрос, горожане собирались на площадь, обсуждали его. Спорили о том, как сделать лучше, а потом голосовали. Понятно, что они были хорошими спорщиками: на таких собраниях приходилось опровергать противников, рассуждать, доказывать свою правоту. Древние греки считали, что спор помогает найти самое лучшие. Самое правильное решение. Они даже придумывали такое изречение: « В споре рождается истина».

И в науке греки стали поступать так же. Как на народном собрании. Они не просто заучивали правила, а доискивались причины: почему правильно делать так, а не иначе. Каждое правило греческие математики старались объяснить, доказать, что оно не верное. Они спорили друг с другом. Рассуждали, старались найти в рассуждениях ошибки.

Докажут одно правило - рассуждения ведут к другому, более сложному, потом - к третьему, к четвёртому. Из правил складывались законы. А из законов - наука математика.

Едва родившись, греческая математика сразу семимильными шагами пошла вперёд. Ей помогали чудесные сапоги- скороходы, которых раньше у других народов не было. Они назывались « рассуждение» и « доказательство».

· Пифагор Самосский.

О числах первым начал рассуждать грек Пифагор, который родился на острове Самосее в VI веке да нашей эры.

Поэтому его часто называют Пифагором Самосским. Много легенд рассказывали греки об этом мыслителе.

Пифагор рано проявил способности к наукам, и отец Мнесарх отвёз его в Сирию, в Тир, чтобы там его учили халдейские мудрецы. Она узнает о таинствах египетских жрецов. Загоревшись желанием войти в их круг и стать посвящённым, Пифагор начинает готовиться к путешествию в Египет. Год он проводит в Финикии, в школе жрецов. Затем побывает в Египет, в Гелиополис. Но местные жрецы были неприветливы.

проявив настойчивость и выдержав исключительно трудные вступительные испытания, Пифагор добивается своего - его принимают в касту.21 год пробыл он в Египте, в совершенстве изучил все виды египетского письма, прочитал множество папирусов. Факты, известные египтянам в математике, наталкивают его на собственные математические открытия.

Мудрец говорил: « В мире есть при вещи, к которым нужно стремиться. Это, во-первых, прекрасное и славное, во- вторых, полезное для жизни, в-третьих, доставляющее наслаждение. Однако наслаждение бывает двоякого рода: одно, утоляющее роскошеством наше чревоугодие, гибельно; другое – праведное и необходимое для жизни».

Центральное место в философии воспитанников и приверженцев Пифагора занимали числа:

« Где нет числа и меры - там хаос и химеры»,

« Самое мудрое - это число»,

« Числа управляют миром».

Поэтому многие считают Пифагора отцом нумерации - сложной, окутанной тайной науки, описывающие в нём события, раскрывающей прошлое и будущее, предсказывающей судьбы людей.

· Пифагор и числа.

Числа Древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами, мыслились зримо в виде камешков, разложенных на песке или на счётной доске - абаке.

Числа камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались, так возникли числа, сегодня именуемые фигурными: линейные числа (т. е. простые числа) – числа, которые делятся на единицу и на само себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию

https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg" width="312" height="85 src=">

телесные числа, выражаемые произведением трёх сомножителей

https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg" width="446" height="164 src=">

квадратные числа:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg" width="323" height="150 src=">

и. т.д. именно от фигурных чисел пошло выражение « Возвести число в квадрат или куб ».

Пифагор не ограничился плоскими фигурами. Из точек он стал складывать пирамиды, кубы и другие тела и изучать пирамидальные, кубические и иные числа (см. рис.1). К слову сказать, названием куб числа мы тоже пользуемся и сегодня.

Но числами, получавшимися из различных фигур, Пифагор не удовлетворился. Ведь он провозгласил, что числа правят миром. Поэтому ему пришлось придумывать, как с помощью чисел изображать такие понятия, как справедливость, совершенство, дружба.

Чтобы изобразить совершенство, Пифагор принялся за делители чисел (при этом делитель 1 он брал, а само число не брал). Все делители числа он складывал, и если сумма оказывалась меньше числа, оно объявлялось недостаточным, а если больше – избыточным. И только в случае, когда сумма в точности равнялась числу, его объявляли совершенным. Похожим образом изображали числа дружбы – два числа называли дружественными, если каждое из них равнялось сумме делителей другого числа. Например, число 6 (6=1+2+3) –совершенно, число 28 (1+2+4+7+17) – совершенно. Следующие совершенные числа – 496, 8128, .

2.Числа простые и составные.

О дружественных или совершенных числах современная математика вспоминает с улыбкой как о детском увлечении.

А введенные Пифагором понятия простого и составного чисел являются до сих пор предметом серьезных исследований, за которые математики получают высокие научные награды.

Из опыта вычислений люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-то из его последователей нашел доказательство этого утверждения.

Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строят остальные числа.

Открытие закономерностей в ряду чисел - очень приятное событие для математиков: ведь эти закономерности можно использовать для построения гипотез, для проверки доказательств и формул. Одно из занимающих математиков свойств простых чисел состоит в том, что они отказываются подчиняться хоть какой-нибудь закономерности.

Единственный способ определить, простое ли число 100 895 598 169, - воспользоваться довольно трудоемким « решетом Эратосфена».

На таблице представлен один из вариантов этого решета.

В этой таблице все простые числа, меньшие 48, обведены кружками. Найдены они так: 1 имеет единственный делитель - себя, поэтому 1 не считается простым числом. 2 – наименьшее (и единственное чётное) простое число. Все другие чётные числа делятся на 2,а значит имеют, по крайней мере три делителя; поэтому они не простые и могут быть вычеркнуты. Следующее невычеркнутое число – 3; оно имеет ровно два делителя, поэтому она простое. Все остальные числа, кратные трём (т. е. такие, которые можно разделить на 3 без остатка), вычеркиваются. Теперь первое невычеркнутое число - 5; оно простое, а все его кратные можно вычеркнуть.

Продолжая вычеркивать кратные, можно отсеять все простые числа, меньше 48.

3. Проблема Гольдбаха.

Из простых чисел можно получить любое число с помощью умножения. А что будет, если складывать простые числа?

Живший в России в XVIII веке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четное число в виде суммы двух простых чисел. (как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом).

4 = 1 +3, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5. и т. д.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg" width="156" height="191 src=">

О своем наблюдении Гольдбах написал великому математику

XVIII века Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской Академии наук. Проверив еще много четных чисел, Эйлер убедился, что все они являются суммами двух простых чисел. Но четных чисел бесконечно много. Поэтому вычисления Эйлера давали лишь надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают все числа. Однако попытки доказать, что это всегда будет так, ни к чему не привели.

Двести лет размышляли математики над проблемой Гольдбаха. И только русскому ученому Ивану Матвеевичу Виноградову удалось сделать решающий шаг. Он установил, что любое достаточно большое натуральное число является

суммой трех простых чисел. Но число, начиная с которого верно утверждение Виноградова, невообразимо велико.

4. Признаки делимости.

489566: 11 = ?

Чтобы узнать, каково данное число – простое или составное, не всегда нужно заглядывать в таблицу простых чисел. Часто для этого достаточно воспользоваться признаками делимости.

· Признак делимости на 2.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно и делится на 2 без остатка.

· Признак делимости на 3.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

· Признак делимости на 4.

Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4, если делится на 4 число, образованное двумя последними цифрами этого числа.

· Признак делимости на 5.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится на 5 без остатка.

· Признак делимости на 7 (на13).

Натуральное число делится на 7 (на 13), если алгебраическая сумма чисел, образующих грани по три цифры(начиная с цифры единиц), взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком «минус» для четных граней, делилась на, составим алгебраическую сумму граней, начиная с последней грани и чередуя знаки +и -: + 254 = 679. Число 679 делится на 7, значит и данное число делится на 7.

· Признак делимости на 8.

Натуральное число, содержащее не менее четырех цифр, делится на 8, если делится на 8 число, образованное тремя последними цифрами.

· Признак делимости на 9.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

· Признак делимости на 10.

Если натуральное число оканчивается 0, то оно делится на 10.

· Признак делимости 11.

Натуральное число делится на 11, если алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечетных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на четных местах, делится на, 7 – 1 + 5 = 11, делится на 11).

· Признак делимости на 25.

Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 25, если делится на 25 число, образованное двумя последними цифрами этого числа.

· Признак делимости на 125.

Натуральное число, содержащее не менее четырех чисел, делится на 125, если на 125 делится число, образованное тремя последними цифрами этого числа.

5. Любопытные свойства натуральных чисел.

У натуральных чисел есть много любопытных свойств, которые обнаруживаются при выполнении над ними арифметических действий. Но заметить эти свойства всё же бывает легче, чем доказать их. Приведём несколько таких свойств.

1) .Возьмём наугад какое-нибудь натуральное число, например 6, и запишем все его делители: 1, 2, 3,6. Для каждого из этих чисел запишем, сколько у него делителей. Так как у 1 только один делитель (само это число), у 2 и 3 по два делителя, а у 6 имеем 4 делителя, то получаем числа 1, 2, 2, 4. У них есть замечательная особенность: если возвести эти числа в куб и сложить ответы, получится в точности такая же сумма которую мы получили бы, сначала сложив эти числа, а потом возведя сумму в квадрат, иными словами,

https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg" width="554" height="140 src=">

Подсчёты показывают, что и слева и справа ответ один и тот же, а именно324.

Какое бы число мы ни взяли, подмеченное нами свойство будет выполняться. Вот только доказать это довольно сложно.

2) . Возьмём любое четырёхзначное число, например 2519, и расставим его цифры сначала в порядке убывания, а потом в порядке возрастания: и Из большего числа вычтем меньшее: =8262. С полученным числом проделаем то же самое: 86=6354. И ещё один такой же шаг: 65= 3087. Далее, = 8352, =6174. Вам не надоело вычитать? Сделаем всё же ещё один шаг: =6174. Снова получилось 6174.

Вот теперь мы, как говорят программисты, «зациклились»: сколько бы раз мы теперь не вычитали, ничего кроме 6174, не получим. Может быть, дело в том, что так было подобрано исходное число 2519? оказывается, оно здесь не при чём: какое бы четырёхзначное число мы ни взяли, после не более чем семи шагов обязательно получится это же число 6174.

3) . Нарисуем несколько окружностей с общим центром и на внутренней окружности запишем любые четыре натуральных числа. Для каждой пары соседних чисел вычтем из большего меньшее и результат запишем на следующей окружности. Оказывается, если повторить это достаточно много раз, на одной их окружностей все числа окажутся равными нулю, а поэтому и дальше ничего, кроме нулей, получаться не будет. На рисунке показано это для случая, когда на внутренней окружности написаны числа 25, 17, 55, 47.

4) . Возьмём любое число (хоть тысячезначное), записанное в десятичной системе счисления. Возведём все его цифры в квадрат и сложим. С суммой проделаем то же самое. Оказывается, после нескольких шагов мы получим либо число 1, после чего иных чисел не будет, либо 4, после чего мы имеем числа 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 и снова получим 4. Значит, цикла не избежать и здесь.

5. Составим такую бесконечную таблицу. В первом столбце напишем числа 4, 7, 10, 13, 16, … (каждое следующее на 3 больше предыдущего). От числа 4 проведём вправо строку, увеличивая на каждом шагу числа на 3. От числа 7 поведём строку, увеличивая числа на 5, от числа 10- на 7 и т. д. Получается такая таблица:

Если взять любое число из этой таблицы, умножить его на 2 и к произведению прибавить 1, то всегда получится составное число. Если проделать то же самое с числом, не входящим в эту таблицу, то получаем простое число. Например, возьмём из таблицы число 45. Число 2*45+1=91 составное, оно равно 7*13. А числа 14 в таблице нет, и число 2*14+1=29 простое.

Этот замечательный способ отличать простые числа от составных придумал в 1934 году индийский студент Сундарам. Наблюдения за числами позволяют открывать и другие замечательные утверждения. Свойства мира чисел поистине неисчерпаемы.

Числовые фокусы.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg" width="226" height="71">

Ведь если рядом с трехзначным числом ещё раз написать это же число, то первоначальное число умножится на 1001 (например, 289 289= 289https://pandia.ru/text/79/542/images/image024_3.jpg" width="304" height="74">

А четырёхзначные числа повторяют один раз и делят на 73 137. Разгадка в равенстве

https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg" width="615" height="40 src=">

Заметим, что кубы чисел 0, 1, 4, 5, 6 и 9 оканчиваются той же цифрой (например, https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg" width="24" height="24 src=">.jpg" width="389" height="33">

Кроме этого, надо запомнить следующую таблицу, показывающую, с чего начинаются пятые степени следующих чисел:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image032_2.jpg" width="200 height=28" height="28">Значит, надо приписать к первоначально написанному на доске пятизначному числу впереди цифру 3, а из полученного числа отнять 3.

Чтобы зрители не разгадали фокуса, можно уменьшить первую цифру какого-нибудь из чисел на несколько единиц и на столько же единиц уменьшить соответствующую цифру в сумме. Например, на рисунке уменьшена, на 2 первая цифра в третьем слагаемом и на столько же соответствующая цифра в сумме.

Заключение.

Собрав и обобщив материал о простых и составных числах, пришла к выводу:

1. Учение о числах уходит в древние времена и имеет богатую историю.

2. Велика роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строятся все остальные числа.

3. Натуральные числа имеют много любопытных свойств. Свойства мира чисел поистине неисчерпаемы.

4. Подготовленный мною материал можно смело использовать на уроках математики и занятиях математического кружка. Этот материал поможет более глубже подготовиться к различным видам олимпиад.

Простые и составные числа. Признаки делимости.

2014-02-01

Частное
делитель числа
кратное число
четное число
нечетное число
простое число
составное число
Признак делимости на 2
Признак делимости на 4
Признак делимости на 5
Признак делимости на 3 и 9

Если $a$ и $b$ - натуральные числа, причем
$a=bq$,
где $q$ - также натуральное число, то говорят, что $q$ -

частное от деления числа $a$ на число $b$, и пишут: $q = a/b$.

Также говорят, что $a$ делится на $b$ нацело или без остатка .

Всякое число $b$, на которое $a$ делится без остатка, называется делителем числа $a$

Само

число $a$ но отношению к своему делителю называется кратным

Таким образом, числа, кратные $b$, суть числа $b, 2b, 3b, \cdots$.

Числа, кратные числу 2 (т. е. делящиеся на 2 без остатка), называются четными

.

Числа, не делящиеся на 2 нацело, называются нечетными

Каждое натуральное число либо четно, либо нечетно.

Если каждое из двух чисел $a_{1}, a_{2}$ является кратным числа $b$, то и сумма $a_{1}+a_{2}$ - кратное числа $b$. Это видно из записи $a_{1}=bq_{1}, a_{2}=bq_{2}; a_{1}+a_{2}=bq_{1}+bq_{2}= b (q_{1}+q_{2})$.
Обратно, если $a_{1}$ и $a_{1}+a_{2}$ - кратные числа $b$, то $a_{2}$ - также кратное числа $b$.

Всякое отличное от единицы натуральное число имеет по меньшей мере два делителя: единицу и самоё себя.

Если число не имеет никаких других делителей, кроме себя и единицы, оно называется простым

.

Число, имеющее какой-нибудь делитель, отличный от себя и единицы, называют составным

Числом. Единицу принято не относить ни к простым, ни к составным числам. Вот несколько первых простых чисел, записанных в порядке возрастания:
$2,3,5,7,11,13,17, \cdots$
Число 2 - единственное четное простое число; все остальные простые числа - нечетные.

То, что простых чисел имеется бесконечное множество, было установлено еще в древности (Евклид, III век до нашей эры).

Идея доказательства Евклида бесконечности множества простых чисел весьма проста. Допустим, что простых чисел - конечное число; перечислим их все, например, расположив в порядке возрастания:
$2,3,5, \cdots , p$. (1)
Составим число, равное их произведению плюс единица:
$a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdots p+1$.
Очевидно, что это число не делится ни на одно из чисел (1). Следовательно, либо оно само является простым, либо, если оно составное, то имеет простой делитель, отличный от чисел (1), что противоречит допущению о том, что в записи (1) перечислены все простые числа.

Это доказательство представляет большой интерес, так как дает пример доказательства теоремы существования (бесконечного множества простых чисел), не связанного с фактическим отысканием объектов, существование которых доказывается.

Можно доказать, что всякое составное число представимо в виде произведения простых чисел. Так, например,
$1176 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ или $1176 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7^{2}$.
Как видно из этого примера, в разложении данного числа на простые множители некоторые из них могут повторяться несколько раз.

В общем случае в записи разложения числа $a$ на простые множители
$a = p^{k_{1}}_{1} p^{k_{2}}_{2} \cdots p^{k_{n}}_{n}$ (2)
подразумевается, что все простые числа $p_{1},p_{2}, \cdots , p_{n}$ различны между собой (причем $p_{1}$ повторяется множителем $k_{1}$ раз, $p_{2}$ повторяется множителем $k_{2}$ раз и т. д.). При этом условии можно доказать, что разложение единственно с точностью до порядка записи сомножителей.

При разложении числа на простые множители полезно бывает использовать признаки делимости, позволяющие выяснить, делится ли данное число на некоторое другое число без остатка, не производя самого деления. Мы выведем признаки делимости на числа 2, 3, 4, 5, 9.

Признак делимости на 2. На 2 делятся те и только те числа, в записи которых последняя цифра выражает четное число (0, 2, 4, 6 или 8).

Доказательство. Представим число $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}}$ в виде $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}} = \overline{c_{1}c_{2} \cdots 0} + c_{m}$.
Первое слагаемое в правой части делится на 10 и потому - четное; сумма будет четной тогда и только тогда, когда $c_{m}$ - четное число.

Признак делимости на 4 Число $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}}$ делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, выражаемое его последними двумя цифрами, делится на 4.

Доказательство. Представим число $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}}$ в виде
$\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}} = \overline{c_{1}c_{2} \cdots 00} + \overline{c_{m-1}c_{m}}$
Первое слагаемое делится на 100 и тем более на 4. Сумма будет делиться на 4 в том и только в том случае, если $\overline{c_{m-1}c_{m}}$ делится на 4.

Признак делимости на 5. На 5 делятся те и только те числа, запись которых заканчивается цифрой 0 или цифрой 5.

Признаки делимости на 3 и на 9. Число делится на 3 {соответственно на 9) в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 3 (соответственно на 9).

Доказательство. Запишем очевидные равенства
$10 = 9+1$,
$100 = 99 + 1$,
$1000 = 999+1$,
$ \cdots $,
в силу которых можно число $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}}$ представить в виде
$a_{m}=c_{1}(99 \cdots 9 + 1) + \cdots + c_{m-1} (9+1) + c_{m}$
или
$a_{m}=c_{1} \cdot 99 \cdots 9 + \cdots + c_{m-1} \cdot 9 + (c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{m-1} + c_{m})$.
Видно, что все слагаемые, кроме, быть может, последней скобки, делятся на 9 (и тем более на 3). Поэтому данное число делится на 3 или на 9 тогда и только тогда, когда делится на 3 или на 9 сумма его цифр $c_{1}+c_{2}+ \cdots + c_{m}$.

Рак