Термин «кратность» относится к области математики: с точки зрения этой науки, он означает количество раз, которое определенное число входит в состав другого числа.

Понятие кратности

Упрощая приведенное , можно сказать, что кратность одного числа по отношению к другому показывает, во сколько раз первое число больше второго. Таким образом, тот факт, что одно число является кратным другому фактически означает, что большее из них способно быть разделенным на меньшее без остатка. Например, кратным числу 3 является 6.

Такое понимание термина «кратность» влечет за собой выведение из него нескольких важных следствий. Первое из них - то, что любое число может иметь неограниченное количество кратных ему чисел. Это связано с тем, что фактически для того, чтобы получить кратное некоторому числу другое число, необходимо первое из них умножить на любое целое положительное значение, которых, в свою очередь, имеется бесконечное множество. Например, кратными числу 3 являются числа 6, 9, 12, 15 и другие, получаемые умножением числа 3 на любое целое положительное число.

Второе важное свойство касается определения наименьшего целого числа, являющегося кратным рассматриваемому. Так, наименьшим кратным по отношению к любому числу является само это число. Это связано с тем, что наименьшим целым результатом деления одного числа на другое является единица, а именно деление числа само на себя и обеспечивает этот результат. Соответственно, число, кратное рассматриваемому, не может быть меньше, чем само это число. Например, для числа 3 наименьшим кратным числом будет 3. При этом определить наибольшее число, кратное рассматриваемому, фактически невозможно.

Числа, кратные 10

Числа, кратные 10, обладают всеми перечисленными свойствами наравне с другими кратными числами. Так, из перечисленных свойств следует, что наименьшим числом, кратным 10, является само число 10. При этом, поскольку число 10 является двузначным, можно сделать вывод, что кратным числу 10 могут быть только числа, состоящие не менее чем из двух знаков.

Для того чтобы получить другие числа, кратные 10, необходимо число 10 умножить на любое целое положительное число. Таким образом, в перечень чисел, кратных 10, войдут числа 20, 30, 40, 50 и так далее. Следует обратить внимание, что все полученные числа должны без остатка делиться на 10. При этом определить наибольшее число, кратное 10, как и в случаях с другими числами, невозможно.

Кроме того, обратите внимание, что существует простой практический способ определить, является ли конкретное рассматриваемое число кратным 10. Для этого следует выяснить, какова его последняя цифра. Так, если она равна 0, рассматриваемое число будет кратным 10, то есть может быть без остатка разделено на 10. В противном случае число не является кратным 10.

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Определение 1. Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b , если существует такое натуральное число c, что выполняется равенство

В противном случае говорят, что число a не делится начисло b.

Если число a больше, чем число b, и не делится на число b, то число a можно разделить на число b с остатком .

Определение 2. Деление числа a на число b с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа c и r , что выполняются соотношения

a = bc + r, r < b .

Число b называется делителем , число c - частным , а число r - остатком от деления a на b .

Еще раз особо подчеркнем, что остаток r всегда меньше, чем делитель b .

Например, число 204 не делится на число 5 , но, разделив число 204 на 5 с остатком , получаем:

Таким образом, частное от деления равно 40 , а остаток равен 4 .

Определение 3. Числа, делящиеся на 2 , называют четными , а числа, которые не делятся на 2 , называют нечетными .

Признаки делимости

Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости .

Признак делимости на	Формулировка	Пример
2	Число : 0 , 2 , 4 , 6 , 8	1258
3	Сумма цифр числа должна делиться на 3	745 , (7 + 4 + 5 = 15 )
4	Число, образованное на 4	7924
5	Число должно оканчиваться цифрой 0 или 5	835
6	Число должно делиться на 2 и на 3	234 , (2 + 3 + 4 = 9 )
7	На 7 должно делиться число, полученное	3626 , (362 - 12 = 350 )
8	Число, образованное на 8	63024
9	Сумма цифр должна делиться на 9	2574 , (2 + 5 + 7 + 4 = 18 )
10	Число должно оканчиваться 0	1690
11	Сумма цифр , стоящих на четных местах , либо равна сумме цифр , стоящих на нечетных места х, либо отличается от нее на число, делящееся на 11	1408 , (4 + 8 = 12 ; 1 + 0 = 1 ; 12 - 1 = 11 )
13	На 13 должно делиться число, полученное	299 , (29 + 36 = 65 )
25	Число должно оканчиваться на 00 , 25 , 50 или 75	7975
50	Число должно оканчиваться на 00 или 50	2957450
100	Число должно оканчиваться на 00	102300
1000	Число должно оканчиваться на 000	3217000

Признак делимости на 2

Формулировка признака: Число должно оканчиваться четной цифрой : 0 , 2 , 4 , 6 , 8 1258

Признак делимости на 3

Формулировка признака: Сумма цифр числа должна делиться на 3 745 , (7 + 4 + 5 = 15 )

Признак делимости на 4

Формулировка признака: Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4 7924

Признак делимости на 5

Формулировка признака: Число должно оканчиваться цифрой 0 или 5

Признак делимости на 6

Формулировка признака: Число должно делиться на 2 и на 3 234 , (2 + 3 + 4 = 9 )

Признак делимости на 7

Формулировка признака: На 7 должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой 3626 , (362 - 12 = 350 )

Признак делимости на 8

Формулировка признака: Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на 8 63024

Признак делимости на 9

Формулировка признака: Сумма цифр должна делиться на 9 2574 , (2 + 5 + 7 + 4 = 18 )

Признак делимости на 10

Формулировка признака: Число должно оканчиваться 0 1690

Признак делимости на 11

Формулировка признака: Сумма цифр , стоящих на четных местах , либо равна сумме цифр , стоящих на нечетных места х, либо отличается от нее на число, делящееся на 11 1408 , (4 + 8 = 12 ; 1 + 0 = 1 ; 12 - 1 = 11 )

Признак делимости на 13

Формулировка признака: На 13 должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой 299 , (29 + 36 = 65 )

Признак делимости на 25

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 00 , 25 , 50 или 75 7975

Признак делимости на 50

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 00 или 50 2957450

Признак делимости на 100

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 00 102300

Признак делимости на 1000

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 000 3217000

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

У нас также для школьников организованы

В этой статье изучим признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее. Сначала дадим их формулировки и приведем примеры применения указанных признаков делимости. После этого докажем признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 , … В заключение рассмотрим примеры доказательства делимости на 10 , 100 , 1 000 и т.д. с использованием формулы бинома Ньютона и метода математической индукции.

Навигация по странице.

Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и т.д., примеры

Сформулируем сначала признак делимости на 10 : если последняя цифра в записи целого числа есть 0 , то такое число делится на 10 ; если же последняя цифра в записи числа отлична от 0 , то такое число не делится на 10 .

Формулировка признака делимости на 100 такова: если две последние цифры в записи целого числа являются нулями, то такое число делится на 100 ; если же хотя бы одна из двух последних цифр числа отлична от цифры 0 , то такое число на 100 на делится.

Аналогично формулируются признаки делимости на 1 000 , 10 000 и так далее, в них лишь речь идет о последних трех, четырех и так далее нулях в записи целого числа.

Отдельно нужно сказать, что приведенные признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 и т.д. не распространяются лишь на число нуль. Мы знаем, что нуль делится на любое целое число. В частности, нуль делится и на 10 , и на 100 , и на 1 000 , и т.д.

Озвученные признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 , … очень легко и удобно применять на практике, для этого нужно исследовать нужное количество последних цифр в записи числа. Рассмотрим примеры применения признаков делимости на 10, 100, 1 000 , …

Пример.

Какие из целых чисел 500 , −1 010 , −50 012 , 440 000 300 000 , 67 893 делятся на 10 ? Какие из этих чисел делятся на 10 000 ? А какие числа не делятся на 100 ?

Решение.

Признак делимости на 10 позволяет нам утверждать, что числа 500 , −1 010 , 440 000 300 000 делятся на 10 , так как в их записи последней цифрой является 0 , а числа −50 012 и 67 893 на 10 не делятся, так как их записи оканчиваются цифрами 2 и 3 соответственно.

На 10 000 делится лишь число 440 000 300 000 , так как только в его записи справа находится четыре цифры 0 .

Основываясь на признаке делимости на 100 , мы можем сказать, что на 100 не делятся числа −1 010 , −50 012 и 67 893 , так как в их записях две последние цифры не являются цифрами 0 .

Ответ:

500 , −1 010 , 440 000 300 000 делятся на 10 ; 440 000 300 000 делится на 10 000 ; 1 010 , −50 012 и 67 893 не делятся на 100 .

Доказательство признаков делимости на 10, 100, 1 000 и т.д.

Покажем доказательство признака делимости на 10 . Для удобства переформулируем этот признак в виде необходимого и достаточного условия делимости на 10 .

Теорема.

Для делимости целого числа на 10 необходимо и достаточно, чтобы в его записи последней цифрой была цифра 0 .

Доказательство.

Сначала докажем необходимость. Пусть целое число a делится на 10 , докажем, что в этом случае в записи числа a последней цифрой является цифра 0 .

Так как a делится на 10 , то по понятию делимости существует такое целое число q , что a=10·q . Из правила умножения на 10 следует, что произведение 10·q равно целому числу, запись которого получается из записи числа q , если в ней справа дописать цифру 0 . Таким образом, последней цифрой в записи числа a=10·q является цифра 0 . Так доказана необходимость.

Переходим к доказательству достаточности. Пусть в записи целого числа a последней цифрой является 0 , докажем, что число a в этом случае делится на 10 .

Если в записи целого числа последней цифрой является 0 , то такое число в силу правила умножения на 10 можно представить как a=a 1 ·10 , где запись числа a 1 получается из записи числа a , если в ней убрать последнюю цифру. По понятию делимости из равенства a=a 1 ·10 следует делимость числа a на 10 . Достаточность доказана.

По аналогии доказываются и признаки делимости на 100 , 1 000 и так далее.

Другие случаи делимости на 10, 100, 1 000 и т.д.

В этом пункте мы хотим показать, какие еще бывают способы доказательства делимости на 10 . Например, если число задано в виде значения какого-нибудь при некотором значении переменной, то применять признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 часто оказывается невозможно. Поэтому приходится прибегать к другим методам решения.

Иногда показать делимость позволяет . Рассмотрим пример.

Пример.

Делится ли на 10 при любом натуральном n ?

Решение.

Число 11 можно представить в виде суммы 10+1 , после чего применить формулу бинома Ньютона:

Очевидно, полученное произведение делится на 10 , так как содержит множитель 10 , а значение выражения в скобках является натуральным числом при любом натуральном n . Следовательно, делится на 10 при любом натуральном n .

Ответ:

Да.

Другим способом доказательства делимости является . Разберем его применение на примере.

Пример.

Докажите, что делится на 10 при любом натуральном n .

Решение.

Воспользуемся методом математической индукции.

Продолжаем разговор о признаках делимости. В этом материале мы изучим, по каким признакам можно определить делимость числа на 1000 , 100 и т.д. В первом пункте сформулируем их, возьмем несколько примеров, после чего приведем необходимые доказательства. Ближе к концу мы разберем доказательства делимости на 1000 , 100 , 10 с помощью математической индукции и формулы бинома Ньютона.

Формулировка признака делимости на 10 , 100 и т.д. с примерами

Сначала запишем формулировку признака делимости на десять:

Определение 1

Если число заканчивается на 0 , то его можно разделить на 10 без остатка, а если на любую другую цифру, то нельзя.

Теперь запишем признак делимости на 100:

Определение 2

На 100 без остатка можно разделить такое число, которое заканчивается двумя нулями. Если хотя бы одна из двух цифр в конце не равна нулю, то такое число разделить на 100 без остатка нельзя.

Точно так же можно вывести признаки делимости на тысячу, 10 тысяч и так далее: в зависимости от количества нулей в делителе нам требуется соответствующее количество нулей в конце числа.

Отметим, что данные признаки нельзя распространить на 0 , поскольку 0 можно разделить на любое целое число – и на сто, и на тысячу, и на десять тысяч.

Эти признаки легко применять в решении задач, ведь подсчитать количество нулей в исходном числе несложно. Возьмем несколько примеров применения данных правил на практике.

Пример 1

Условие: определите, какие числа из ряда 500 , − 1 010 , − 50 012 , 440 000 300 000 , 67 893 можно разделить на 10 , 10 000 без остатка, а какие из них не делятся на 100 .

Решение

Согласно признаку делимости на 10 , мы можем совершить такое действие с тремя числами из указанных, а именно с − 1 010 , 440 000 300 000 , 500 , ведь они все заканчиваются нулями. А вот для − 50 012 и 67 893 такого деления без остатка мы осуществить не можем, поскольку у них в конце стоят 2 и 3 .

На 10 тысяч здесь можно разделить всего одно число – 440 000 300 000 , поскольку лишь в нем достаточно нулей в конце (4) . Зная признак делимости на 100 , можно сказать, что − 1 010 , − 50 012 и 67 893 на сотню не делятся, поскольку в конце у них нет двух нулей.

Ответ: на 10 можно разделить числа 500 , − 1 010 , 440 000 300 000 ; на 10 000 – число 440 000 300 000 ; на 100 не делятся числа 1 010 , − 50 012 и 67 893 .

Как доказать признаки делимости на 10 , 100 , 1000 и др.

Для доказательства нам потребуется вспомнить, как правильно умножать натуральные числа на 100 , 10 и т.д., а также вспомнить, что из себя вообще представляет понятие делимости и какими свойствами оно обладает.

Сначала приведем доказательство признака делимости числа на 10 . Для удобства запишем его в виде теоремы, то есть представим как необходимое и достаточное условие.

Определение 3

Чтобы определить, делится ли целое число на 10 , нужно посмотреть на его конечную цифру. Если она равна 0 , то такое деление без остатка возможно, если она представляет из себя другую цифру, то нет.

Начнем с доказательства необходимости данного условия. Допустим, нам известно, что некое число a можно разделить на 10 . Докажем, что в конце у него стоит 0 .

Поскольку a можно разделить на 10 , то согласно самому понятию делимости, должно существовать такое целое число q , при котором будет верным равенство a = 10 · q . Вспомним правило умножения на 10: произведение 10 · q должно быть целым числом, запись которого можно получить, если дописать к q справа нуль. Значит, в записи числа a = 10 · q последним будет стоять 0 . Необходимость можно считать доказанной, далее нам нужно доказать достаточность.

Допустим, что у нас есть целое число с 0 на конце. Докажем, что оно делится на 10 . Если последняя цифра целого числа равна нулю, то исходя из правила умножения на 10 , его можно представить в виде a = a 1 · 10 . Здесь число a 1 получается из a , в котором убрали последнюю цифру. По определению делимости из равенства a = a 1 · 10 будет следовать делимость a на 10 . Таким образом мы доказали достаточность условия.

Точно так же доказываются и другие признаки делимости – на 100 , 1000 и т.д.

Прочие случаи делимости на 1000 , 100 , 10 и др.

В данном пункте мы расскажем о других способах определения делимости на 10 . Так, если изначально у нас задано не число, а буквенное выражение, то воспользоваться указанными выше признаками мы не можем. Здесь нужно применить другие методы решения.

Первым таким методом является использование формулы бинома Ньютона. Решим такую задачу.

Пример 2

Условие: определите, можно ли разделить 11 n + 20 n - 21 на 10 при любом натуральном значении n .

Решение

Cначала представим 11 как сумму 10 и единицы, а потом воспользуемся нужной формулой.

11 n + 20 n - 21 = (10 + 1) n + 20 n - 21 = = C n 0 · 10 n + C n 1 · 10 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 10 2 · 10 n - 2 + C n n - 1 · 10 · 1 n - 1 + C n n · 1 n + + 20 n - 21 = = 10 n + C n 1 · 10 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 10 2 · n · 10 + 1 + + 20 n - 21 = = 10 n + C n 1 · 10 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 10 2 + 30 n - 20 = = 10 · 10 n - 1 + C n 1 · 10 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 10 1 + 3 n - 2

Мы получили выражение, которое можно разделить на 10 ,поскольку там есть соответствующий множитель. Значение выражения в скобках будет представлять из себя натуральное число при любом натуральном значении n . Значит, исходное выражение 11 n + 20 n - 21 можно разделить на десять при любом натуральном n .

Ответ: данное выражение делится на 10 .

Еще один метод, который возможно применить в данном случае, – математическая индукция. Покажем на примере задачи, как это делается.

Пример 3

Условие: выясните, будет ли 11 n + 20 n - 21 делится на 10 при любом натуральном n .

Решение

Применим метод математической индукции. Если n будет равен единице, то у нас получится 11 n + 20 n - 21 = 11 1 + 20 · 1 - 21 = 10 . Деление десяти на десять возможно.

Допустим, что выражение 11 n + 20 n - 21 будет делиться на 10 при n = k , то есть 11 k + 20 k - 21 можно разделить на 10 .

Учитывая предположение, сделанное ранее, попробуем доказать, что выражение 11 n + 20 n - 21 делится на 10 при n = k + 1 . Для этого нам нужно преобразовать его следующим образом:

11 k + 1 + 20 · k + 1 - 21 = 11 · 11 k + 20 k - 1 = 11 · 11 k + 20 k - 21 - 200 k + 230 = = 11 · 11 k + 20 k - 21 - 10 · 20 k - 23

Выражение 11 · 11 k + 20 k - 21 в данной разности можно разделить на 10 , поскольку такое деление возможно и для 11 k + 20 k - 21 , а 10 · 20 k - 23 тоже делится на 10 , потому что это выражение содержит множитель 10 . Из этого мы можем заключить, что на 10 делится вся разность. Это и будет доказательством того, что 11 n + 20 n - 21 делится на 10 при любом натуральном значении n.

Если нам нужно проверить, делится ли на 10 многочлен с переменной n , допускается следующий подход: доказываем, что при n = 10 · m , n = 10 · m + 1 , … , n = 10 · m + 9 , где m – целое число, значение исходного выражения можно разделить на 10 . Это докажет нам делимость такого выражения при любом целом n . Несколько примеров доказательств, где используется такой способ, можно найти в статье о других случаях делимости на три.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Животные